Учебное пособие 1360

Контрольные вопросы и задания к п. 3.4

1.Какое неравенство называется неравенством КошиБуняковского?

2.Докажите теорему Пифагора и неравенство треугольника в евклидовом пространстве.

3.Докажите, что в вещественном евклидовом пространстве неравенством Коши-Буняковского переходит в равенство

| (x, y) |=|| x || || y || тогда и только тогда, когда векторы x и

yлинейно зависимы.

4.Запишите выражение для нормы (длины) вектора и нера-

венство Коши-Буняковского в пространствах Rn и

C[a,b] .

3.5.Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Определение. Базис e1, e2 ,..., en евклидова или унитар-

i=1

зис имеет вид:

e1 = (1,0,0,...,0) ,

e2 = (0,1,0,...,0) ,

…

en = (0,0,0,...,1) .

Покажем, что в любом пространстве со скалярным произведением имеется ортонормированный базис. Предварительно докажем следующее утверждение.

Теорема 32. Любая система попарно ортогональных векторов, не содержащая нулевого вектора, линейно независима.

Доказательство. Пусть векторы e1, e2 ,..., ek попарно ортогональны и отличны от нуля, т.е. (ei , e j ) = 0 при i ≠ j и

(ei , ei ) ≠ 0 i =1, k . Докажем, что такая система векторов линейно независима. Для этого покажем, что из равенства

следует равенство нулю всех коэффициентов αi . Умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор e1, полу-

чим

(α1e1 +α2e2 +... +αk ek , e1) =

=α1(e1, e1) +α2 (e2 , e1) +... +αk (ek , e1) = 0 .

Откуда в силу условий (ei , e j ) = 0 при i ≠ j вытекает, что

α1(e1, e1) = 0 , где (e1, e1) ≠ 0 . Следовательно, α1 = 0 . Аналогично, умножая скалярно обе части равенства

(19) на векторы e2 ,..., ek , получим α2 = 0 , … , αk = 0 . Таким образом, из (19) вытекает, что все коэффициенты αi = 0 , а значит система векторов e1, e2 ,..., ek линейно независима. ■

Следующая теорема дает удобный способ построения ортонормированного базиса.

Теорема 33. В любом конечномерном евклидовом или унитарном пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть L - пространство со скалярным произведением (евклидово или унитарное), dim L = n . Пусть g1, g2 ,..., gn - какой-либо базис пространства L . По-

строим сначала ортогональный базис f1, f2 ,..., fn , а затем

векторы этого базиса пронормируем.

Векторы f1, f2 ,..., fn будем строить последовательно, конструируя каждый вектор fk в виде линейной комбинации уже построенных векторов gk , f1,..., fk−1 .

Аналогично, из равенства ( f3, f2 ) = 0 получаем

α2 = − (g3, f2 ) . ( f2 , f2 )

И так далее.

Таким образом, каждый вектор fk ( k ≥ 2 ) ищем в виде

fk = gk +α1 f1 +α2 f2 +... +αk−1 fk−1 ,

где коэффициенты α1,α2 ,...,αk−1 подбираются так, чтобы вектор fk был ортогонален ко всем уже построенным векторам f1, f2 ,..., fk−1. Для этого должны выполняться равенства

( fk , fi ) = (gk , fi ) +αi ( fi , fi ) = 0 , i =1, k −1,

откуда находим

αi = − ((gfk,, ffi)) .

ii

Здесь знаменатель ( fi , fi ) отличен от нуля, так как все векторы fi ( i =1, k −1) по построению ненулевые. Кроме того, так как векторы g1, g2 ,..., gk линейно независимы, то полученный вектор fk будет ненулевым.

В результате (через n шагов) будет построена система из n попарно ортогональных векторов f1, f2 ,..., fn . В силу

теоремы 32 эти векторы линейно независимы, и поэтому образуют базис (ортогональный). Каждый из векторов fi по-

делим на его длину, получим ортонормированный базис, образованный векторами

Замечание. Легко видеть, что если первые k векторов g1, g2 ,..., gk были попарно ортогональны, то f1 = g1 , f2 = g2 ,

… , fk = gk . Если, кроме того, они были единичными, то e1 = g1 , e2 = g2 , … , ek = gk .

Способ построения ортогональной системы векторов, описанный в теореме, называется процессом ортогонализа-

ции Грама-Шмидта.

Пусть e1, e2 ,..., en - ортонормированный базис пространства. Пусть вектор x имеет в этом базисе координаты

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen , y = y1e1 + y2e2 +... + ynen .

Тогда формула

n

(x, y) = x1y1 + x2 y2 +... + xn yn = ∑xi yi

i=1

есть выражение скалярного произведения в ортонормированном базисе; в частности

n

x = (x, x) = ∑xi2 .

i=1

Умножив обе части равенства x = x1e1 +... + xnen скалярно на ei ( i =1, n ), получим явное выражение для координат вектора x в этом базисе. А именно,

xi = (x, ei ) i =1, n .

Таким образом, свойства произвольного ортонормированного базиса евклидова (унитарного) пространства анало-

гичны свойствам декартова прямоугольного базиса i , j , k .

Пример 47. Найдем ортогональный базис для про-

Проверим сначала, будут ли векторы g1, g2 , g3 линейно

независимы. Для этого составим матрицу, строками которой являются координаты векторов g1, g2 , g3 , и вычислим ее

ранг. Имеем:

Таким образом, ранг исходной матрицы равен 3, следовательно, ее строки g1, g2 , g3 - линейно независимы и образу-

ют базис пространства, порожденного векторами g1, g2 , g3 .

Применим теперь процесс ортогонализации к базисным векторам g1, g2 , g3 , и построим новый ортогональный базис

f1, f2 , f3 .

Положим f1 = g1 = (1,1,1,1) .

Вектор f2 ищем в виде

f2 = g2 +α f1 ,

где число α определяется из условия ( f2 , f1) = 0 , откуда на-

ходим α = − (g2 , f1) . Вычислим (g2 , f1) и ( f1, f1) : ( f1, f1)

(g2 , f1) =1 1+2 1+1 1+2 1 = 6 , ( f1, f1) =1+1+1+1 = 4 .

Тогда α = −6 4 = −3 2 . Следовательно,

Проведем необходимые вычисления: (g3, f1) =1 1+0 1+0 1+0 1 =1,

(g3, f2 ) =1 (−1 2) +0 (1 2) +0 (−1 2) +0 (1 2) = −1 2 ,

( f2 , f2 ) = (−1 2)2 +(1 2)2 +(−1 2)2 +(1 2)2 =1.

Тогда α1 = − 14 , α2 = 12 . Следовательно,

f3 = g3 − 14 f1 + 12 f2 = (12 ,0, − 12 ,0) .

Итак, ортогональный базис построен. Он образован векторами

Для построения ортонормированного базиса надо каждый из полученных векторов поделить на его длину.

Пример 48. В пространстве C[−1,1] функций, непрерывных на отрезке [−1,1], со скалярным произведением

1

( f , g) = ∫ f (t)g(t)dt

−1

ортогонализируем систему векторов-функций

Найдем f2 (t) . Проведем необходимые вычисления:

Тогда α = 0 и f2 (t) = g2 (t) +0 f1(t) = t .

Теперь найдем f3 (t) . Предварительно вычислим необходимые скалярные произведения:

Таким образом, искомая система ортогональных векторов построена. Она имеет вид:

Контрольные вопросы и задания к п. 3.5

1.Какие векторы евклидова пространства называются ортогональными?

2.В пространстве C[0,1] скалярное произведение функций

f (x) и g(x) задано формулой

1

( f , g) = ∫ f (x)g(x)dx .

торы αx и β y также ортогональны при любых числах

αи β .

4.Докажите, что если ненулевые векторы x и y евклидова

пространства ортогональны, то они линейно независимы. Верно ли обратное утверждение?

5.Что такое ортогональный базис? Что такое ортонормированный базис? Приведите примеры ортонормированных базисов.

6.Опишите процесс построения ортонормированного базиса на основе произвольного базиса (процесс ортогонализа-

ции).

7.Напишите формулу скалярного произведения векторов x

иy через их координаты в ортонормированном базисе

евклидова (унитарного) пространства.

8.Как выражается норма (длина) произвольного вектора через его координаты в ортонормированном базисе евклидова (унитарного) пространства.

9. Пусть x = 2e1 +3e2 −3e3 , y = e1 −2e3 и базис e1, e2 , e3 - ортонормированный. Вычислите скалярное произведение (x, y) и длины векторов || x || и || y ||.

10. Выясните, какой из данных базисов является ортонор-

12. Найдите ортонормированный базис линейной оболочки векторов a1 = (2,1,3, −1) , a2 = (7, 4,3, −3) , a3 = (1,1, −6,0) ,

a4 = (5,7,7,8) .

13. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис в каждом из следующих подпространств евклидова про-

3.6. Матрица Грама системы векторов

Рассмотрим произвольную конечную систему векторов f1, f2 ,..., fn . Вычислим всевозможные скалярные произведе-

ния ( fi , f j ) и из этих чисел составим матрицу.

Определение. Матрицей Грама системы векторов f1, f2 ,..., fn евклидова или унитарного пространства называ-

ется матрица вида

Из аксиом скалярного произведения вытекают следующие свойства.

1)Все элементы главной диагонали матрицы Грама неотрицательны, т.е. ( fi , fi ) ≥ 0 i .

2)В евклидовом пространстве матрица Грама - сим-

метричная, так как ( fi , f j ) = ( f j , fi ) . В унитарном простран-

стве элементы матрицы связаны соотношением

( fi , f j ) = ( f j , fi ) , тогда G = GT .

3) Система векторов f1, f2 ,..., fn ортогональна тогда и только тогда, когда G - диагональная матрица.

4) Система векторов f1, f2 ,..., fn является ортонорми-

рованной тогда и только тогда, когда матрица Грама является единичной матрицей, т.е. G = E .

Теорема 34. Система векторов f1, f2 ,..., fn евклидова

или унитарного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама равен нулю.

α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn =θ .

Обе части этого равенства умножим скалярно на fi ( i =1, n ), получим

( fi ,α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn ) = 0 , i =1, n .

Отсюда в силу аксиом скалярного произведения имеем: ( fi ,α1 f1) +( fi ,α2 f2 ) +... +( fi ,αn fn ) = 0 ,

α1( fi , f1) +α2 ( fi , f2 ) +... +αn ( fi , fn ) = 0 ,

причем в этой линейной комбинации есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. Следовательно, столбцы матрицы Грама линейно зависимы, откуда получаем, что

| G |= 0 .

2) Проведем доказательство в обратную сторону. Пусть определитель матрицы Грама равен нулю. Тогда столбцы матрицы линейно зависимы, т.е. существуют числа α1,α2 ,...,αn , не все равные нулю и такие, что

Запишем векторное равенство (20) покоординатно:

α1( fi , f1) +α2 ( fi , f2 ) +... +αn ( fi , fn ) = 0 , i =1, n .

Коэффициенты α1,α2 ,...,αn внесем во вторые сомножители скалярных произведений, получим

( fi ,α1 f1) +( fi ,α2 f2 ) +... +( fi ,αn fn ) = 0 , i =1, n ;

или

α1, α2 , ... , αn , а затем сложим их. Получим

(α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn , α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn ) = 0 .

Имеем скалярное произведение двух одинаковых векторов, равное нулю. Следовательно, в силу аксиомы 4 скалярного произведения получим

α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn =θ ,

причем среди коэффициентов этой линейной комбинации есть ненулевые, а значит векторы f1, f2 ,..., fn линейно зави-

симы. ■

Следствие. Система векторов f1, f2 ,..., fn линейно

независима тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама этой системы векторов отличен от нуля.

Пример 49. С помощью матрицы Грама выясним, является ли система векторов f1 = (1, 2,0,0) , f2 = (2, 2,3, 4) ,

f3 = (3,6,0,0) линейно зависимой.

Составим матрицу Грама данной системы векторов, она будет симметрична относительно главной диагонали. Вычислим сначала необходимые скалярные произведения:

Тогда матрица Грама имеет вид:

Замечаем, что первая и третья строки матрицы пропорциональны, следовательно | G |= 0 . Откуда заключаем, что век-

торы f1, f2 , f3 - линейно зависимы.

3.7.Выражение скалярного произведения векторов через матрицу Грама

Матрица Грама позволяет дать описание различных способов задания скалярного произведения на конечномерном пространстве.

Пусть E - евклидово пространство и f1, f2 ,..., fn - некоторый базис в E . Пусть x , y - два произвольных вектора, принадлежащих E . Разложим их по базису:

Рассмотрим скалярное произведение векторов x и y :

(x, y) = (x1 f1 + x2 f2 +... + xn fn , y1 f1 + y2 f2 +... + yn fn ) =

Откуда в силу аксиом скалярного произведения получаем

Обозначим через gik = ( fi , fk ) . Элементы gik образуют матрицу G = (gik ) - это матрица Грама системы векторов f1, f2 ,..., fn . Тогда последнее равенство можно записать в матричном виде следующим образом:

(x, y) = X T GY ,

y1

где X T = (x1,..., xn ) , Y = .

yn

Если x , y - векторы унитарного пространства, то формула примет вид:

(x, y) = X T GY ,

где черта над Y означает взятие комплексного сопряжения. Полученные формулы для (x, y) можно использовать

для задания скалярного произведения векторов.

Так, например, если базис f1, f2 ,..., fn - ортонормированный, то матрица Грама - единичная ( G = E ) и

(x, y) = X T EY = X TY = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn ,

это каноническое скалярное произведение.

Если же базис ортогональный, но не нормированный, то матрица Грама будет диагональной

Тогда (x, y) = X T GY =α1x1y1 +α2 x2 y2 +... +αn xn yn .

Вобщем случае, скалярное произведение можно задать

спомощью формулы (x, y) = X T GY , где G - некоторая

симметричная матрица, элементы главной диагонали которой положительны.

Пример 50. Пусть

Тогда формула

(x, y) = X T GY = x1y1 − x1y2 − x2 y1 +2x2 y2 − x2 y3 − x3 y2 +

+2x3 y3 − x3 y4 − x4 y3 +2x4 y4

задает скалярное произведение в пространстве 4 . (Докажите, что выполнены все аксиомы скалярного произведения)

3.8.Ортогональное дополнение к подпространству

Пусть E - евклидово или унитарное пространство и L - его подпространство.

Определение. Ортогональным дополнением к подпро-

странству L называется множество всех векторов пространства E , которые ортогональны каждому вектору из L .

Обозначение: L . Итак, по определению

L ={x E : (x, y) = 0 y L}.

Теорема 35. Ортогональное дополнение L является подпространством.

Доказательство. Покажем, что для любых u, v L верно u +v L и λu L

1) Пусть векторы u, v L . Тогда для любого y L верно (u, y) = 0 и (v, y) = 0 , значит

(u +v, y) = (u, y) +(v, y) = 0 .

Следовательно, вектор u +v L .

2) Для любого числа λ ( ) и произвольного вектора u L имеем:

(λu, y) = λ(u, y) = λ 0 = 0 ,

значит вектор λu L .

Из 1), 2) вытекает, что L есть подпространство. ■

Следующая теорема показывает, почему L называют ортогональным дополнением.

Теорема 36. Пусть E - евклидово или унитарное пространство, L - его подпространство. Тогда пространство E может быть разложено в прямую сумму подпростран-

ства L и его ортогонального дополнения L , т.е. E = L L .

Доказательство. Покажем сначала, что подпростран-

ства L и L в сумме дают все пространство E . Выберем в L какой-либо ортонормированный базис e1,..., ek , и допол-

ним его до ортонормированного базиса всего пространства

E :

e1,..., ek , ek+1,..., en .

Отметим, что векторы ek+1,..., en принадлежат L , так как они ортогональны каждому вектору из набора e1,..., ek . Тогда

z = xk+1ek+1 +... + xnen . Причем вектор y L , так как он раз-

вольно, то E = L + L .

Покажем теперь, что сумма L + L подпространств L и L - прямая. Пусть x L ∩L , т.е. x L и x L . Тогда в силу определения ортогонального дополнения имеем x x , или (x, x) = 0 . Отсюда вытекает (в силу аксиомы 4 скалярно-

го произведения), что x =θ . Таким образом, L ∩L ={θ}. Следовательно, сумма подпространств L и L - прямая. ■

ортогональной проекцией вектора x на подпространство L ,

а вектор z - ортогональной составляющей вектора x .

Приведем примеры ортогональных дополнений.

Пример 51. В двумерном евклидовом пространстве 2 подпространство L = Ox имеет ортогональное дополнение

L = Oy .

Пример 52. В трехмерном евклидовом пространстве 3 одномерное подпространство L = Ox имеет двумерное ортогональное дополнение L = Oyz .

Пример 53. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений AX = O , или

a11x1 +a12 x2 +... +a1n xn = 0,

a21x1 +a22 x2 +... +a2n xn = 0,

am1x1 +am2 x2 +... +amn xn = 0,

или в векторной форме записи

(a1, X ) = 0 , (a2 , X ) = 0 ,

(am , X ) = 0 ,

где через a1, a2 ,..., am обозначены строки матрицы A , т.е.