Учебное пособие 1360

Контрольные вопросы и задания к п. 2.4

1.Как преобразуется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому?

базисе u : u1,u2 , если известно, что u1 = e1 +e2 , u2 = e1 −e2 .

2.5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Пусть L - линейное пространство над полем P . Пусть A - линейный оператор; A : L → L .

Определение. Собственным вектором линейного опе-

ратора A называется такой ненулевой вектор x L , что Ax = λx для некоторого λ P . При этом скаляр λ называется собственным значением, соответствующим собственному вектору x .

Замечание. Если x - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ , то вектор kx ( k ≠ 0 ) также является собственным, отвечающим тому же собственному зна-

откуда вытекает, что x - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ = 4 ;

значит, вектор y не является собственным.

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного оператора потребуется новое понятие. Введем его.

Пусть в пространстве L выбран базис e : e1,..., en и Ae -

матрица оператора A в этом базисе.

Определение. Характеристическим многочленом опе-

ратора A называется многочлен | Ae −λE | , а уравнение

| Ae −λE |= 0 называется характеристическим уравнением.

Покажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора базиса.

Теорема 17. Характеристический многочлен оператора A: L → L не зависит от выбора базиса пространства L .

Доказательство. Пусть e , e′ - два базиса пространства L и T =Te→e′ - матрица перехода от базиса e к базису e′. Тогда (см. теорему 15 п.2.4)

Ae′ =T −1AeT .

Следовательно, для характеристического многочлена имеем:

Теорема 18. Число λ P является собственным значением оператора A тогда и только тогда, когда λ - корень характеристического многочлена этого оператора. При этом собственный вектор X , отвечающий собственному значению λ , есть ненулевое решение системы уравне-

ний ( Ae −λE) X = O .

Доказательство. По определению собственные векторы оператора A Φ(L) - это ненулевые решения оператор-

ного уравнения

Записывая (9) подробно, получим систему линейных однородных уравнений:

В этой системе мы пока не знаем ни числа λ , ни столбца X . Однако известно (см. п.3.6 части 1 настоящего пособия), что система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю. Поэтому

Следовательно, собственные значения λk есть корни

характеристического многочлена оператора A , и отвечающие им собственные векторы Xk есть ненулевые решения

системы ( Ae −λk E) X = O . ■

Итак, получено следующее правило нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

1) Для отыскания собственных значений λk надо решить характеристическое уравнение

| Ae −λE |= 0 .

2) Для отыскания собственных векторов надо для каждого найденного собственного значения λk решить одно-

родную систему уравнений

( Ae −λk E) X = O .

Ненулевые решения этой системы - это столбцы координат искомых собственных векторов в базисе e . Фундаментальная система решений этой системы дает полный набор линейно независимых собственных векторов, отвечающих λk .

Найдем собственные значения и собственные векторы этого оператора.

1) Найдем корни характеристического многочлена:

λ1 = 3 . Для этого найдем ненулевые решения системы уравнений ( A −λ1E) X = O :

где α - любое. Таким образом, вектор (α, 0) , где α ≠ 0 , является собственным вектором, отвечающим собственному значению λ1 = 3 . Например, при α =1 , получаем собствен-

ный вектор X1 = (1,0) .

3) Аналогично находим собственный вектор, отвечающий λ2 = 4 :

Тогда вектор (5α,α) , где α ≠ 0 , является собственным вектором, отвечающим λ2 = 4 . При α =1 получаем X2 = (5,1) .

2.6.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Пусть A - линейный оператор, A : L → L , dim L = n .

Теорема 19. Матрица линейного оператора A : L → L приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда в пространстве L существует базис из собственных векторов этого оператора. В этом базисе матрица оператора A имеет вид

где λi - собственные значения оператора A .

Доказательство. 1) Пусть e : e1, e2 ,..., en - базис в про-

странстве L , и пусть оператор A в этом базисе имеет диагональную матрицу с числами λ1 , λ2 , … , λn на главной диа-

гонали. Тогда в силу определения матрицы оператора

а значит, ei являются собственными векторами оператора A , отвечающими собственным значениям λi .

2)Проведем доказательство в обратную сторону. Пусть

впространстве L существует базис из собственных векторов

e1, e2 ,..., en оператора A , отвечающих собственным значениям λ1, λ2 ,..., λn . Построим матрицу оператора A в этом базисе. Имеем:

Ae1 = λ1e1 = λ1e1 +0 e2 +... +0 en ,

Ae2 = λ2e2 = 0 e1 +λ2e2 +... +0 en ,

. . .

Aen = λnen = 0 e1 +0 e2 +... +λnen .

Напомним, что элементы столбцов матрицы оператора совпадают с коэффициентами строк полученных разложений. Поэтому матрица Ae оператора A в базисе из собственных

векторов будет иметь следующий диагональный вид:

n -мерном линейном пространстве, имеющие n различных собственных значений.

Теорема 20. Собственные векторы оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве L , и u1,...,uk - его соб-

ственные векторы, отвечающие различным собственным значениям λ1,..., λk , т.е.

u1,...,uk линейно зависима. Обозначим через u1,...,us ее максимальную линейно независимую подсистему ( s < k ). Так

как вторая система векторов не совпадает с первой, то найдется вектор us+1 такой, что

i=1

Умножим обе части этого равенства на собственное значение λs+1, получим:

i=1

Сдругой стороны, применяя к обеим частям равенства (10) линейный оператор A , будем иметь:

i=1

Вычитая из равенства (12) равенство (11), получим:

s

∑αi (λi −λs+1)ui =θ .

i=1

Откуда в силу линейной независимости векторов ui , i =1, s , следует, что все коэффициенты равны нулю:

αi (λi −λs+1) = 0 , i =1, s .

Но по условию λi ≠ λs+1 ( i =1, s ), поэтому αi = 0 ( i =1, s ).

s

Тогда вектор us+1 = ∑αiui =θ , чего не может быть, так как

i=1

вектор us+1 - собственный, а значит не может быть нулевым.

Полученное противоречие доказывает, что собственные векторы u1,...,uk , отвечающие различным собственным

значениям, линейно независимы. ■ Непосредственно из теоремы 20 вытекает следующее

утверждение.

Теорема 21. Пусть A : L → L , dim L = n . Если оператор A имеет n различных собственных значений, то матрица оператора A приводима к диагональному виду.

Задача 7. Выяснить, приводимы ли данные матрицы к диагональному виду:

Решение. 1) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим характеристическое уравнение | A −λE |= 0 .

Получили два различных собственных значения. Кроме того, линейный оператор, соответствующий матрице A ,

действует в пространстве размерности 2. Следовательно, в силу теоремы 21 матрица A приводима к диагональному виду

где на диагонали записаны собственные значения.

2) Найдем собственные значения матрицы B . Для этого решим характеристическое уравнение | B −λE |= 0 . Име-

ем:

Вычислим этот определитель методом выделения линейных множителей. Для этого выполним элементарные преобразования, которые сформируют в какой-либо строке (столбце) матрицы B −λE общий множитель вида λ −a , который затем вынесем за знак определителя. Это дает корень λ = a характеристического уравнения.

Предлагается следующий путь вычисления определителя | B −λE | . К третьей строке прибавим вторую строку,

умноженную на (-2), а затем из третьей строки вынесем общий множитель ( λ −9 ):

В последнем определителе ко второму столбцу добавим третий столбец, умноженный на 2, и разложим полученный определитель по третьей строке. Будем иметь:

= −(λ −9)2 (λ +9) .

Значит, собственными значениями матрицы B являются

Выясним, существует ли базис из собственных векторов. Для этого рассмотрим сначала кратное собственное значение λ1,2 = 9 . Найдем соответствующую ему линейно

независимую систему собственных векторов – это фундаментальная система решений однородной системы уравнений

x2 , x3 - свободные неизвестные. Для построения фундамен-

тальной системы решений поочередно одно из свободных неизвестных полагаем равным единице, а остальные – нулю.

Пусть x2 =1, x3 = 0 x1 = − 12 . Тогда X1 = (− 12 ,1,0) . Пусть x2 = 0 , x3 =1 x1 = −1. Тогда X2 = (−1,0,1) .

Таким образом, собственному значению λ1,2 = 9 крат-

ности 2 соответствует два линейно независимых собственных вектора X1 , X2 .

Для собственного значения λ3 = −9 находим один соб-

ственный вектор X3 = (1, 12 ,1) . Вычисления проведите само-

стоятельно.

В силу теоремы 20 построенная система собственных векторов X1 , X2 , X3 будет линейно независима. Кроме то-

го, число собственных векторов (три) совпадает с размерностью пространства, в котором действует оператор, соответствующий матрице B . Следовательно, собственные векторы X1 , X2 , X3 образуют базис и матрица B приводима к диа-

гональному виду:

3) Выясним, приводима ли к диагональному виду матрица C . Найдем ее собственные значения. Для этого решим характеристическое уравнение:

Вычислим этот определитель методом выделения линейных множителей. Выполним следующие преобразования. Ко второму столбцу добавим третий столбец, умноженный на (-1); затем из второго столбца вынесем общий множитель ( λ−2 ):

Теперь к третьей строке прибавим вторую строку, и разложим полученный определитель по второй строке. Будем иметь:

= −(λ −2)(λ −3)2 .

Откуда находим собственные значения матрицы C :

Выясним, существует ли базис из собственных векторов. Для этого рассмотрим сначала кратное собственное значение λ2,3 = 3. Найдем соответствующую ему линейно

независимую систему собственных векторов – это фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Решим полученную систему методом Гаусса. Приведем ее к ступенчатому виду

Таким образом, собственному значению λ2,3 = 3 крат-

ности 2 соответствует только один собственный вектор X . Для другого собственного значения λ1 = 2 найдем еще один

собственный вектор. Получим всего два линейно независимых собственных вектора. Но они не могут образовать базис в трехмерном пространстве, в котором действует оператор C . Следовательно, не существует базиса из собственных векторов, а значит, матрица C неприводима к диагональному виду.

Результат задачи 7 показывает, что не для всякого линейного оператора можно подобрать базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Поэтому существуют другие способы получения наболее простой матрицы оператора – матрицу приводят к жордановой форме.

Контрольные вопросы и задания к п. 2.5-2.6

1.Что называется собственным вектором и собственным значением линейного оператора?

2.Докажите справедливость равенства Aθ = 5θ , где A - произвольный линейный оператор, θ - нулевой вектор. Следует ли из этого равенства, что θ - собственный вектор оператора A , а число 5 - собственное значение этого оператора?

3.Является ли подпространством множество всех собственных векторов линейного оператора, отвечающих одному и тому же собственному значению?

4.Каково наибольшее число различных собственных значений, которое может иметь линейный оператор, действующий в линейном пространстве размерности n ?

5.Какое уравнение называется характеристическим уравнением линейного оператора?

6.Всегда ли корень характеристического уравнения является собственным значением линейного оператора?

7.Как найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора?

6. Пусть x1 и x2 - собственные векторы линейного оператора A . Является ли вектор x1 +x2 собственным вектором

оператора A ?

7. Пусть x - собственный вектор линейных операторов A и B . Докажите, что x является собственным вектором операторов AB и A + B . Найдите соответствующие собственные значения.

8.Пусть λ1, λ2 ,..., λn - не равные друг другу собственные значения линейного оператора A , действующего в простран-

векторы. Докажите, что векторы e1, e2 ,...en образуют базис пространства n . Какой вид имеет матрица оператора A

в этом базисе?

9.Найдите собственные векторы и собственные значения данной матрицы. Приводима ли матрица к диагональному виду?

щие им собственные векторы. Докажите, что векторы x1 и x2 линейно независимы.

2.7.Инвариантные подпространства линейных пространств

Пусть L - линейное пространство и A : L → L - линейный оператор. Пусть L1 - подпространство в L . Образ Ax

вектора x L1 , вообще говоря, не обязан принадлежать L1 .

Особый интерес представляют такие подпространства, векторы которых действием оператора A не выводятся из этих подпространств.

Определение. Подпространство L1 линейного про-

странства L называется инвариантным относительно линейного оператора A , если AL1 L1 , т.е. Ax L1 для любо-

го вектора x L1 .

Приведем примеры инвариантных подпространств. Пример 36. Само пространство L и его нулевое под-

пространство {θ} инвариантны относительно любого линей-

ного оператора.

Пример 37. В любом пространстве каждое подпро-

A(x, y, z) = (x, y,0) . Тогда координатная плоскость Oxy и ось

Oz будут инвариантными подпространствами относительно оператора A .

Пример 39 (построение одномерного инвариантного подпространства). Пусть L - линейное пространство над полем P и A : L → L - линейный оператор. Пусть x - собственный вектор оператора A , соответствующий собственному значению λ P , т.е. Ax = λx , x ≠θ .

Рассмотрим подпространство, порожденное собственным вектором x :

L1 ={y : y =αx, α P} .

Покажем, что L1 инвариантно относительно оператора A . Пусть y L1 , т.е. y =αx . Рассмотрим образ вектора y :

Ay = A(αx) =α Ax =α λx = λ αx = λy ,

но λ P , а значит λy L1 . Таким образом, для любого y L1 верно Ay L1 , т.е. AL1 L1 . Следовательно, подпространство L1 инвариантно относительно оператора A .

Таким образом, каждый собственный вектор линейного оператора порождает одномерное инвариантное подпространство.

Пример 40. Любое множество собственных векторов линейного оператора порождает инвариантное подпространство. (Проверьте!)

Опишем некоторые свойства инвариантных подпространств.

Теорема 22. Пересечение и сумма подпространств, инвариантных относительно линейного оператора A , также инвариантны относительно A .

Доказательство. Пусть подпространства L1 и L2 ин-

вариантны относительно оператора A . Рассмотрим произвольный вектор x L1 ∩L2 , тогда x L1 и x L2 , откуда в силу инвариантности получаем Ax L1 и Ax L2 , т.е.

Ax L1 ∩L2 . Следовательно, A(L1 ∩L2 ) L1 ∩L2 . Рассмотрим теперь вектор x L1 + L2 . Тогда для x вер-

но представление x = u +v , где u L1 , v L2 . Отсюда в силу линейности оператора A получаем:

Ax = A(u +v) = Au + Av ,

но для любых u L1 , v L2 верно Au L1, Av L2 . Значит,

Ax L1 + L2 , т.е. A(L1 + L2 ) L1 + L2 . ■

Существование в пространстве L инвариантных относительно оператора A подпространств позволяет упростить матрицу оператора.

Теорема 23. Пусть AΦ(L) и L1 - инвариантное под-

пространство относительно оператора A . Тогда существует базис пространства L , в котором матрица оператора A имеет следующий блочный вид:

Доказательство. Пусть e1,..., ek - базис подпространства L1 . Дополним его до базиса всего пространства L :

e1,..., ek , ek+1,..., en .

Построим матрицу оператора A в этом базисе.

В силу инвариантности подпространства L1 векторы Ae1,..., Aek L1 ; и поэтому могут быть разложены по базису L1 , а значит, и по базису всего пространства L следующим

образом:

Ae1 = a11e1 +... +ak1ek +0 ek+1 +... +0 en ,

…

Aek = a1k e1 +... +akk ek +0 ek+1 +... +0 en .

Образы остальных базисных векторов Aek+1,..., Aen L , и

поэтому могут быть разложены по базису исходного пространства L :

Aek+1 = a1,k+1e1 +... +ak,k+1ek +ak+1,k+1ek+1 +... +an,k+1en ,

…

Aen = a1ne1 +... +aknek +ak+1,nek+1 +... +annen .

Записывая коэффициенты полученных разложений столбцами, получим матрицу оператора A в базисе e : e1,..., en ис-

ходного пространства L :

странстве L1 . ■

Если пространство L есть прямая сумма инвариантных подпространств, то матрица оператора A имеет еще более простой вид (клеточно-диагональный).

Теорема 24. Если пространство L разложено в прямую сумму L = L1 L2 , где L1 и L2 - подпространства, ин-

вариантные относительно оператора A , то существует базис пространства L , в котором матрица оператора имеет клеточно-диагональный вид: