Учебное пособие 1360

a1 = (a11, a12 ,..., a1n ), a2 = (a21, a22 ,..., a2n ),

am = (am1, am2 ,..., amn ).

Тогда этой системе можно дать следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть в евклидовом пространстве n в ортонормированном базисе задано m векторов a1, a2 ,..., am . Задача состо-

ит в том, чтобы найти все векторы X = (x1, x2 ,..., xn ) , ортогональные каждому из векторов a1, a2 ,..., am .

dim L = n −r . Базисом ортогонального дополнения L служит фундаментальная система решений данной системы однородных уравнений AX = O .

тельно). Построим L .

Сначала найдем базис в L . При α =1 , β = 0 получаем вектор a1 = (1,1,1,0,0) . При α = 0 , β =1 получаем вектор a2 = (0,0,1,1,1) . Векторы a1, a2 служат базисом в L , так как

они линейно независимы (докажите!), и любой вектор x L можно записать в виде их линейной комбинации: x =αa1 + βa2 .

Рассмотрим матрицу A , строками которой являются векторы a1 и a2 , т.е.

Составим однородную систему AX = O . Тогда L - это пространство решений системы AX = O , найдем ее фундаментальную систему решений.

Пусть x1, x4 , x5 - свободные переменные. Тогда ФСР образуют три решения

X1 = (1, −1,0,0,0) ,

X2 = (0,1, −1,1,0) ,

X3 = (0,1, −1,0,1) .

Итак, базис ортогонального дополнения L построен – это векторы X1 , X2 , X3 . Тогда любой вектор x L может

быть записан в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.

L ={x : x =αX1 + β X2 +γ X3} =

={x : x = (α, −α + β +γ, −β −γ, β,γ) α, β,γ } .

3.9.Скалярное произведение в линейных пространствах над конечными полями

Евклидово пространство по определению является линейным пространством над полем действительных чисел. Поэтому линейные пространства над конечными полями не являются евклидовыми пространствами. Однако в них по аналогии с евклидовыми пространствами определяют понятия скалярного произведения векторов, нормы вектора, расстояния между векторами. При этом, в отличие от евклидовых пространств, норма вектора и расстояние между векторами определяются независимо от скалярного произведения векторов.

Приведем соответствующие определения для арифме-

i=1

Непосредственно из определения следует, что скаляр-

ное произведение векторов пространства Pn над конечным полем P обладает всеми свойствами 1 - 3 и 2′, 3′ скалярного произведения (см. п.3.1). В то же время свойство 4, по которому (x, x) > 0 при x ≠θ , здесь теряет силу, поскольку в

конечном поле отсутствует понятие "больше". С этим и свя-

зан тот факт, что норма вектора в Pn определяется не через скалярное произведение.

Определение. Нормой (или весом) Хэмминга вектора x = (x1, x2 ,..., xn ) из пространства Pn над конечным полем P называется число ненулевых компонент xi в векторе x .

Обозначение: x .

Это понятие нормы вектора, отличное от понятия нормы вектора в евклидовом пространстве, обладает свойствами, похожими на свойства нормы. А именно, для любых век-

торов x, y Pn и любого λ P \{0} верно:

1) x ≥ 0 , причем x = 0 x =θ ;

2)λx = x ;

3) x + y ≤ x + y .

Свойства 1 -2 очевидны. Докажем свойство 3. Пусть

x = (x1, x2 ,..., xn ) ,

y= ( y1, y2 ,..., yn ) , x + y = (t1,t2 ,...,tn ) .

Если в векторе x + y компонента ti ≠ 0 , то по крайней мере один из элементов xi , yi отличен от нуля. Следовательно, суммарное число ненулевых компонент в векторах x и y не меньше числа ненулевых компонент в векторе x + y . Отсюда

и следует свойство 3.

Определение. Расстоянием Хэмминга между вектора-

ми x, y Pn называется число ρ(x, y) = x − y .

Можно показать, что так определенное расстояние между векторами удовлетворяет следующим аксиомам метрики:

1)ρ(x, y) ≥ 0 , ρ(x, y) = 0 x = y ;

2)ρ(x, y) = ρ( y, x) ;

3)ρ(x, y) + ρ( y, z) ≥ ρ(x, z) .

Утверждения 1 - 2 очевидны. Докажем утверждение 3:

ρ(x, y) + ρ( y, z) = x − y + y − z ≥

≥(x − y) +( y − z) = x − z = ρ(x, z) .

Впространстве Pn над конечным полем P дословно так же, как и в евклидовом пространстве, можно, пользуясь скалярным произведением, определить понятия ортогональ-

ности векторов, ортогонального дополнения L для подпространства L . Точно так же доказывается, что L - подпространство и Pn есть прямая сумма подпространств L и L .

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

Наличие скалярного произведения позволяет выделить из множества всех линейных операторов, действующих в данном пространстве, ряд интересных классов. Рассмотрим наиболее распространенные из них - это сопряженные, самосопряженные и ортогональные операторы.

4.1. Оператор, сопряженный данному

Пусть E - пространство со скалярным произведением (евклидово или унитарное); A - линейный оператор, действующий в пространстве E .

Определение. Оператор A* , действующий в пространстве E , называется сопряженным к оператору A , если выполняется равенство

( Ax, y) = (x, A* y) x, y E .

Перейдем к изучению свойств сопряженного оператора. Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. Если в евклидовом или унитарном пространстве (x,u) = (x, v) для всех векторов x , то u = v .

Доказательство. Из равенства (x,u) = (x, v) вытекает, что (x,u) −(x, v) = 0 , или (x,u −v) = 0 при всех x . Тогда для x = u −v получим (u −v,u −v) = 0 , откуда u −v =θ , и u = v .■

Теорема 35. Оператор, сопряженный к линейному, является линейным оператором.

Доказательство. Пусть A : E → E - линейный опера-

тор и A* - сопряженный к A оператор. Докажем, что A* является линейным оператором; для этого проверим свойства аддитивности и однородности.

1) Для любых векторов y1, y2 E имеем

(x, A*( y1 + y2 )) = (Ax, y1 + y2 ) = ( Ax, y1) +( Ax, y2 ) =

= (x, A* y1) +(x, A* y2 ) = (x, A* y1 + A* y2 ) x E .

Откуда в силу леммы получаем, что

A*( y1 + y2 ) = A* y1 + A* y2 y1, y2 E .

Аддитивность оператора A* доказана.

2) Проверим свойство однородности. Для любого вектора y E и любого числа λ имеем

(x, A*(λy)) =(Ax,λy) =λ(Ax, y) =λ(x, A*y) =(x,λA*y) x E .

Откуда, в силу леммы A*(λy)) = λA* y .

Таким образом, в силу свойств 1 и 2 оператор A* является линейным. ■

Теорема 36. Для любого линейного оператора существует, и притом единственный, сопряженный оператор.

Доказательство. Докажем сначала единственность

сопряженного оператора. Предположим, что оператор A имеет два сопряженных A1* и A2* , т.е.

Докажем существование сопряженного оператора. Для этого перейдем к координатной записи.

Пусть e1,..., en - ортонормированный базис в пространстве E и Ae = (aij ) - матрица оператора A в этом базисе.

Рассмотрим оператор B , который в том же ортонорми-

рованном базисе e1,..., en задается матрицей Be = AeT , т.е. bij = a ji . Покажем, что оператор B является сопряженным к оператору A , т.е. проверим равенство

Покажем сначала, что равенство (22) выполняется на базисных векторах, т.е. проверим, что ( Aei , ek ) = (ei , Bek ) .

Преобразуем отдельно левую и правую части. В силу линей-

Покажем теперь, что равенство (22) верно для любых векторов x, y E . Раскладывая векторы x, y по базису про-

странства E , получим

Свойство 1. I* = I , где I - единичный оператор.

Доказательство. Для любых векторов x, y E верно

Свойство 2. ( A + B)* = A* + B*

Доказательство. Для любых векторов x, y E имеем

(x,(A + B)* y) = (( A + B)x, y) = ( Ax + Bx, y) = ( Ax, y) +(Bx, y) = = (x, A* y) +(x, B* y) = (x, A* y + B* y) = (x,( A* + B*) y) .

Откуда в силу леммы ( A + B)* = A* + B* . ■

Свойство 3. (λA)* = λ A* для любого числа λ . В случае

евклидова пространства верно (λA)* = λA* .

Доказательство. Для любых векторов x, y E имеем

(x,(λA)* y) = ((λA)x, y) = (λ Ax, y) =

= λ( Ax, y) = λ(x, A* y) = (x, λ A* y) .

Откуда в силу леммы (λA)* = λ A* . ■

Свойство 4. ( AB)* = B* A*

Доказательство. Для любых векторов x, y E имеем

(x,(AB)* y) = (( AB)x, y) = ( A(Bx), y) = = (Bx, A* y) = (x, B*( A* y)) = (x,(B* A*) y) .

Откуда в силу леммы ( AB)* = B* A* . ■

Свойство 5. ( A*)* = A

Доказательство. Для любых векторов x, y E имеем

(x,(A*)* y) = (A*x, y) = ( y, A*x) = (Ay, x) = (x, Ay) .

Откуда в силу леммы ( A*)* = A . ■

Свойство 6. Если оператор A обратим, то сопряженный оператор A* также обратим и ( A*)−1 = ( A−1)* .

Доказательство. Если A - обратимый оператор, то

AA−1 = A−1A = I .

Тогда для сопряженных операторов верно

( AA−1)* = (A−1A)* = I* .

Откуда в силу свойств 4 и 1 получаем

( A−1)* A* = A*( A−1)* = I .

Следовательно, оператор A* - обратим, и оператор ( A−1)* является к нему обратным, т.е. ( A*)−1 = ( A−1)* . ■

Свойство 7. Если подпространство L инвариантно относительно оператора A , то его ортогональное допол-

нение L инвариантно относительно сопряженного оператора A* .

Доказательство. По условию AL L , т.е. для любого

му верно: ( Ax, y) = 0 . С другой стороны, ( Ax, y) = (x, A* y) . Следовательно, (x, A* y) = 0 x L , и значит A* y L . ■

Контрольные вопросы и задания к п. 4.1

1.Какой оператор называется сопряженным к оператору A ?

2.Для любого ли линейного оператора, действующего в евклидовом (унитарном) пространстве, существует сопряженный оператор?

3.Как связаны между собой матрицы операторов A и A*

водном и том же ортонормированном базисе?

4.Докажите, что оператор, сопряженный к линейному, является линейным оператором.

5.Перечислите свойства сопряженного оператора.

6.Как связаны между собой собственные значения операто-

ров A и A* ?

4.2. Самосопряженный оператор

Пусть E - евклидово или унитарное пространство. Определение. Линейный оператор A называется са-

мосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. A = A* , или ( Ax, y) = (x, Ay) x, y E .

Самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве, называют симметрическим, а в унитарном

- эрмитовым.

Изучим вид матрицы самосопряженного оператора.

Теорема 36. Оператор A , действующий в евклидовом пространстве, является самосопряженным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица является симметричной, т.е. удовлетворяет условию

aij = a ji i, j .

Доказательство. 1) Пусть оператор A - самосопря-

Таким образом, операторы A и A* задаются одной и той же матрицей. Следовательно, A = A* . ■

Теорема 37. Оператор A , действующий в унитарном пространстве, является самосопряженным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его мат-

рица удовлетворяет соотношению aij = a ji .

Доказательство проведите самостоятельно. Приведем свойства самосопряженных операторов.

Свойство 1. Единичный оператор I является самосопряженным, так как I* = I .

Свойство 2. Если A , B - самосопряженные операторы, то их сумма A + B также самосопряженный оператор.

Доказательство. По условию A = A* , B = B* . Тогда в силу свойства 2 сопряженных операторов верно

торы. Произведение AB является самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда AB = BA.

Доказательство. 1) Пусть оператор AB - самосопряженный, т.е. ( AB)* = AB . С другой стороны, в силу свойст-

ва 4 сопряженных операторов верно ( AB)* = B* A* = BA . Та-

ким образом, AB = BA.

2) Докажем обратное. Пусть AB = BA. Покажем, что AB - самосопряженный оператор. В силу условия и свойства 4 сопряженных операторов имеем:

( AB)* = B* A* = BA = AB .

Итак, оператор AB совпадает со своим сопряженным, значит AB - самосопряженный оператор. ■

Свойство 4. Пусть A - самосопряженный оператор. Оператор λA является самосопряженным тогда и только тогда, когда λ - действительное число.

Доказательство. 1) Пусть λA - самосопряженный опе-

действительное.

2) Докажем обратное. Пусть λ - действительное число, A - самосопряженный оператор. Тогда имеем:

(λA)* = λ A* = λA* = λA ,

откуда вытекает, что λA - самосопряженный оператор. ■

Свойство 5. Если оператор A обратим и самосопряжен, то обратный оператор A−1 также самосопряжен.

Доказательство. По условию A = A* . Тогда в силу свойства 6 сопряженных операторов имеем:

( A−1)* = ( A*)−1 = A−1 ,

следовательно, A−1 - самосопряженный оператор. ■

Свойство 6. Если A - самосопряженный оператор и подпространство L инвариантно относительно оператора

A , то ортогональное дополнение L также инвариантно относительно A .

Доказательство. По условию A = A* и AL L . Рас-

смотрим ортогональное дополнение L . В силу свойства 7 сопряженных операторов L инвариантно относительно A* ;

но A* = A , следовательно L инвариантно относительно оператора A . ■

4.3.Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора

Приведем еще два свойства самосопряженного опера-

Таким образом, λ(x, x) = λ(x, x) . Но x - собственный вектор, т.е. x ≠θ , а поэтому (x, x) ≠ 0 . Тогда λ = λ , значит λ . ■

Теорема 39. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.

Доказательство. Пусть A - самосопряженный оператор. Пусть λ1 , λ2 - его собственные значения, λ1 ≠ λ2 , и

x1 , x2 - соответствующие собственные векторы, т.е.

Ax1 = λ1x1 , Ax2 = λ2 x2 .

Причем в силу теоремы 38 собственные значения λ1, λ2 . Рассмотрим скалярные произведения ( Ax1, x2 ) и

(x1, Ax2 ) . Имеем:

( Ax1, x2 ) = (λ1x1, x2 ) = λ1(x1, x2 ) ,

(x1, Ax2 ) = (x1, λ2 x2 ) = λ2 (x1, x2 ) = λ2 (x1, x2 ) .

(λ1 −λ2 ) (x1, x2 ) = 0 . Но λ1 −λ2 ≠ 0 , так как λ1 и λ2 - различны; следовательно (x1, x2 ) = 0 , значит векторы x1 и x2 орто-

гональны. ■ Замечание. Из теоремы 39 вытекает:

1) Для любого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид

где все диагональные элементы λi .

2) Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду.

Контрольные вопросы и задания к п. 4.2-4.3

1.Какой оператор называется самосопряженным?

2.Каким свойством обладает матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе?

3.Перечислите свойства самосопряженного оператора.

4.Докажите, что все собственные значения самосопряженного оператора являются действительными.

5.Докажите, что собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

4.4. Ортогональный (унитарный) оператор

Определение. Линейный оператор A , действующий в евклидовом (унитарном) пространстве, называется ортого-

нальным (унитарным), если AA* = A* A = I , т.е. если A - об-

ратим и A−1 = A* .

Например, единичный оператор I является ортогональным (унитарным).

Укажем свойства унитарного оператора.

Свойство 1. Все собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице.

Доказательство. Пусть λ - собственное значение и x - соответствующий ему собственный вектор унитарного

Данное свойство означает, что на комплексной плоскости все собственные значения унитарного оператора располагаются на единичной окружности.

Свойство 2. Унитарный оператор A сохраняет скалярное произведение векторов, т.е. ( Ax, Ax) = (x, y) .

Доказательство. Пусть A - унитарный оператор, т.е.

A* A = I . Тогда ( Ax, Ax) = (x, A* Ay) = (x, Iy) = (x, y) . ■

Отметим, что часто равенство ( Ax, Ax) = (x, y) x, y

принимают за определение унитарного (ортогонального) оператора.

Свойство 3. Унитарный оператор A сохраняет длины векторов, т.е. Ax = x для любого вектора x .

Доказательство. В силу определения длины вектора и свойства 2 имеем

Ax = (Ax, Ax) = (x, x) = x . ■

Замечание. Для ортогонального оператора свойства 1-3 также справедливы. Причем свойство 1 означает, что все собственные значения ортогонального оператора равны ±1; а в силу свойств 2 и 3 ортогональный оператор сохраняет также углы между векторами.

Легко видеть, что ортогональный (унитарный) оператор любой ортонормированный базис переводит в орто-

нормированный, так как сохраняются длины векторов и ортогональные векторы переводятся в ортогональные. Покажем, что верно и обратное.

Теорема 40. Линейный оператор A , переводящий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, является ортогональным (унитарным).

Доказательство. Пусть оператор A переводит ортонормированный базис e : e1,..., en в другой ортонормирован-

ный базис e′: e1′,..., en′ , т.е. Aei = ei′.

Рассмотрим два произвольных вектора x, y . Разложим их по базису e :

x = x1e1 +... + xnen ,

y = y1e1 +... + ynen .

Тогда в силу линейности оператора A и равенства Aei = ei′ имеем:

Ax = A(x1e1 +... + xnen ) = x1Ae1 +... + xn Aen = x1e1′ +... + xnen′ ,

и аналогично

Ay = y1e1′ +... + ynen′ .

Откуда

( Ax, Ay) = (x1e1′ +... + xnen′ , y1e1′ +... + ynen′ ) =

= x1y1 +... + xn yn = (x, y) .

Значит, оператор A является ортогональным (унитарным). ■ Справедлива следующая теорема (о матрице унитарно-

го оператора).

Теорема 41. Оператор A является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица удовлетворяет соот-

ношению Ae−1 = AeT (соответственно Ae−1 = AeT ).

Такие матрицы называются ортогональными (унитарными). Сформулируем строгие определения.

Определение. Квадратная матрица U с действительными элементами называется ортогональной, если она обратима и U −1 =UT .

Определение. Квадратная матрица U с комплексными элементами называется унитарной, если она обратима и

U −1 =U T .

Из определения ортогональной матрицы следует, что