Линейная алгебра в экономике. Пашуева И.М., Шелкова А.Н

9. Определители треугольных и диагональной матриц равны произведению элементов главной диагонали.

Теорема Лапласа и использование свойств определителя лежат в основе так называемого метода накопления нулей вычисления определителя.

Пример. Вычислим определитель

Для этого из первой строки вычтем вторую, умноженную на 3 и запишем результат на место первой строки. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на два и запишем вместо третьей строки. Из четвертой строки вычтем вторую и результат пишем на месте четвёртой строки:

В последнем определителе из второго столбца вычтем первый, умноженный на два и запишем результат на месте второго.

32

3.Действия над матрицами

3.1.Линейные операции над матрицами

Произведением матрицы Am×n на число λ называется матрица

Bm×n=λA, элементы которой bij=λaij, i 1, m, j 1, n.

Матрица λI называется скалярной матрицей.

Суммой двух матриц A и B одинакового размера m×n называется матрица Cm×n=A+B, элементы которой cij=aij+bij,

i 1, m, j 1, n.

Разность двух матриц одинакового размера m×n определяется через предыдущие операции: A-B= A+(-1)B.

Пример.

Свойства операций сложения матриц и произведения матрицы на число.

Пусть A, B и C – матрицы, имеющие одинаковые размеры,, R. Тогда:

1.A+B=B+A;

2.(A+B)+С=A+(B+С);

3.(A+B)= A+ B;

4.(+)A= A+ A;

33

2. Произведение матрицы Am n aij , i 1, m, j 1, n, на

3.Произведение вектора-столбца Am 1 ai1 , i 1, m, на вектор-строку B1 n b1 j , j 1, n, есть матрица

35

5. Пусть A, B, θ, I, C – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены). Тогда:

6.Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. AB BA . Для квадратных матриц A и B одного по-

36

рядка матрица [A,B]= AB -BA называется коммутато-

ром матриц A и B.

7.Существуют делители нулевой матрицы, т.е. из AB=θ и

A B и из AB=θ и B A .

8.В общем случае из того, что AB=AC и A , I B C.

9.Транспонирование произведения. Пусть

Am n aij , i 1, m, j 1, n; Bn k bjl , j 1, n, l 1, k. То-

гда (AB)Т= BТAТ; AТ , BТ - условие сцепления выполня-

n m k n

ется только для BТAТ.

10. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка

det AB det A det B.

Возведение матриц в натуральную степень.

Натуральной степенью An , n N, квадратной матрицы A

называется произведение n матриц, равных A, то есть

Свойства операции возведения в натуральную степень. 1. Am Ak Am k ; 2. Am k Amk , k, m N.

Матрица A называется нильпотентной, если Am для некоторого m N. Наименьшее из чисел m, для которых имеет место это равенство, называется индексом нильпотентности. Матрица A называется идемпотентной, если A2=A. Матрица A называется инволютивной, если A2=I.

3.3. Многочлены от матриц

Пусть даны квадратная матрица Am m и многочлен

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, ai R, i 0, n, a0 0.

Значением многочлена f(x) при x=A или многочленом f(A) от матрицы A называется матрица

f(A)= a0An+a1An-1+…+an-1A+anI,

37

где I – единичная матрица порядка m. Порядок матрицы f(A) совпадает с порядком матрицы A.

Если f(A)=θ, то многочлен f(x) называется аннулирую-

щим многочленом матрицы A, а сама матрица A – корнем многочлена f(x).

A – корень f(x), f(x) – аннулирующий многочлен для матрицы A.

3.4. Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица A называется вырожден-

ной (невырожденной), если det A 0 det A 0 .

Определение. Матрица Bn n Cn n называется правой (ле-

вой) обратной матрице An n , если AB=I (CA=I).

Теорема. Если для матрицы An n существуют левая обрат-

ная матрица C и правая обратная матрица B, то C=B.

Доказательство.

C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B, ч.т.д.

Определение. Матрица A-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении матрицы A-1 на данную матрицу A как справа, так и слева, получается единичная матрица: A-1A=AA-1=I.

38

Понятие о необходимом и достаточном условиях.

Любую теорему можно записать в виде: A B, где A

– условие теоремы, а B – её заключение. Высказывание B называется необходимым условием для A, а высказывание A –

достаточным условием для B.

Если высказывания A и B таковы, что A B и

B A (каждое следует из другого), то говорят, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным усло-

вием другого и пишут A B.

Необходимое и достаточное условие существования и единственности обратной матрицы.

Теорема. Обратная матрица A-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.

Пример. Вычислить для матрицы A матрицу A-1, пользуясь определением обратной матрицы.

Решение. detA=18-20=-2 A 1. Пусть

Следовательно,

39

Свойства обратной матрицы.

Если det A 0 , то:

1.(A-1)-1=A;

2.(A-1)T=(AT)-1;

3.(AB)-1=B-1A-1;

40