Методическое пособие 609

11.Показать, что матрица А – невырожденная, найти А-1 и проверить, что АА-1= А-1А=I:

17.Установить, с каким знаком входит в определитель пятого порядка член а43а21а35а12а54.

18.Пользуясь свойствами определителей, вычислить:

51

19. Вычислить разложением по строке или столбцу:

20. Пользуясь свойствами определителей, вычислить:

22. Разложить по строке (столбцу) определители из задачи

31.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ИМЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

1.Основные понятия и определения

Системой m линейных уравнений с n переменными называет-

ся система вида

где aij, bi, i 1, m, j 1, n , - произвольные числа, называемые

соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность чисел ki, при подстановке которых в систему вместо переменных xi, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

53

2. Условия совместности системы линейных уравнений Теорема Кронекера – Капелли (необходимое и до-

статочное условие совместности системы линейных уравнений). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A системы был равен рангу расширенной матрицы A*.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений на совместность:

Решение. Матрица системы A имеет вид

Расширенная матрица системы имеет вид:

Найдём её ранг методом элементарных преобразований:

Из последнего видно, что rang A 2 , а rang A* 3. Так как

rang A rang A* , то по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений несовместна.

55

Свойства совместных систем линейных уравнений.

1.Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. rang A = n, то система (1) имеет единственное решение.

2.Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. rang A < n, то система (1) неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

3. Метод обратной матрицы

Пусть m=n. Тогда det A называется определителем системы. Предположим, что detA0. В этом случае выражение (2) можно рассматривать как матричное уравнение AX=B, которое имеет единственное решение X=A-1B, которое и будет решением системы линейных уравнений.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

3x 2 y z 5x y z 04x y 5z 3

Решение. Матрица системы и её определитель равны:

тельно, обратная матрица A-1 существует. Найдём её, вычисляя алгебраические дополнения элементов матрицы A.

рицы, полученной из A заменой j -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

57

Если =0, а хотя бы один из определителей 1 , 2 , ....., n0, то система несовместна. Если =1=2 = ... =n=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Пример. Решим систему уравнений из предыдущего примера по формулам Крамера.

= -11;

22.

Решение системы:

x = 1 = 1111 -1 ; y = 1133 =3 ; z = 1122 =2.

5. Метод Гаусса исключения неизвестных

Сущность метода Гаусса состоит в том, что посредством элементарных преобразований расширенная матрица системы (1) приводится к диагональному или ступенчатому виду, из которого все решения системы усматриваются непосредственно.

Пусть в системе (1) коэффициент a11 0. Если бы было a11=0, то на первое место в системе (1) мы поставили бы уравнение, в котором коэффициент при x1 отличен от нуля. Элемент а11 называется разрешающим элементом на первом шаге, строка и столбец, в которых он находится - разрешаю-

щими строкой и столбцом.

Шаг 1 ( исключение переменной x1 из всех уравнений системы, кроме 1-го). Элементы 1-ой строки остаются неизменными. Элементы первого столбца, расположенные ниже элемента а11, обращаются в нули и остаются таковыми до конца пре-

58

образований. Все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразованный элемент равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

где bSI 0, то система (1) несовместна, если этого не произой-

дет, то, предполагая, что a2I 2 0, изо всех строк, кроме первых

двух, исключим, аналогично шагу 1, неизвестную x2 . Аналогичная процедура проводится для исключения остальных неизвестных. При этом все элементы разрешающей строки и строк, расположенных выше, остаются неизменными; элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований, все прочие элементы вычисляются по правилу прямоугольника (разрешающими элементами являются диагональные элементы матрицы).

Это прямой ход метода Гаусса.

Для обнуления верхнего треугольника матрицы (выше главной диагонали) используется обратный ход. Если при прямом ходе разрешающими последовательно выбирались элементы главной диагонали матрицы, то при обратном ходе таковыми будут элементы той же диагонали, но выбираемые

59

в обратном порядке. Пересчет элементов матрицы при обратном ходе выполняется по следующим правилам:

1)элементы разрешающей строки остаются неизменными;

2)элементы разрешающего столбца, расположенные выше разрешающего элемента, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований;

3)все прочие элементы вычисляются по правилу прямоугольника.

Если к расширенной матрице справа приписать столбец , составленный из сумм элементов соответствующих строк, и преобразовывать его по правилам гауссовых исключений, то после каждого шага сумма элементов i-ой строки расширенной матрицы должна равняться соответствующему элементу преобразованного столбца . Контроль вычислений можно осуществлять как при прямом, так и при обратном ходе. Замечание. Правило прямоугольника соответствует следующим элементарным преобразованиям: умножению пересчитываемой строки на разрешающий элемент и вычитанию из полученной таким образом строки разрешающей строки, умноженной на элемент, находящийся в пересчитываемой строке в разрешающем столбце.

Достоинства метода Гаусса.

1.Значительно менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.

2.Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти её решения (единственное или бесконечное множество).

3.Даёт возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

4.Этим методом гораздо выгоднее пользоваться в случае, когда система содержит большое число уравнений, ибо этот метод, по сути, заключается в последовательном исключении неизвестных.

Недостатки метода Гаусса.

1. Если ведущий элемент равен нулю, то схема непригодна.

60