Методическое пособие 609

Следовательно, rang A=2.

Однородные системы линейных уравнений.

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех её уравнениях свободные члены равны

0.

В общем случае однородная система имеет вид:

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нуле-

вое (тривиальное) решение xi=0, i=1, n .

Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

71

Теорема 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен 0.

Пусть Q Rn - множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Q состоит из n r векторов e1 , ..., en r . Соответствующая ему в базисе система век- тор-столбцов E1, ..., En r называется фундаментальной си-

стемой решений. Общее решение однородной системы имеет вид

X c1E1 ... cn r En r ,

где c1, ..., cn r - произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства)

Решение. Преобразуем матрицу коэффициентов

x1 12 x3 32 x4 32 x5 ,

x2 32 x3 12 x4 12 x5.

72

Следовательно, x3 , x4 , x5 - базис. Размерность пространства

Из общего решения находим фундаментальную систему решений (частное решение):

С использованием фундаментальной системой решений может быть записано в виде X c1,c2 ,c3 c1E1 c2 E2 c3E3 .

Линейное пространство.

Определение. Множество L называется линейным векторным пространством, если:

1. В L введены операция сложения элементов т.е. x,y Lэлемент x y z L со свойствами:

а) x y y x ;

б) x y z x y z ;

в) 0 L x L x 0 x (элемент 0 называется нулевым); г) x L x L : x x 0 (элемент x называется

противоположным элементу x ). 73

2. В L введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. R x L x y L со свойствами:

а) 1 x x ; б) x x , R .

3. Операции сложения элементов и умножения на числа удовлетворяют законам:

а) x y x y ; б) x x x .

Элементы линейного пространства называются векторами.

Формула преобразования координат при преобразова-

координат в базисе B и B соответственно, то имеет место равенство:

X TB B 1 X .

74

Пример. Найти координаты вектора x в базисе e1 ,e2 ,e3 ,

если он задан в базисе e1 ,e2 ,e3 .

Решение. Выпишем матрицу перехода от старого базису к новому базису

(коэффициенты разложения векторов в новом базисе распо-

Тогда

75

Таким образом, координаты вектора x в базисе e1 ,e2 ,e3 :

x 11; 110; 111 .

Линейный оператор.

Определение. Линейным оператором в линейном простран-

стве L называется всякое отображение A : L L пространства L в себя, обладающее свойствами

A x Ax и A x y Ax Ay .

Пример. Пусть x x1, x2 , x3 . Являются ли линейным следующие преобразования:

1)Ax x12 ; x1 x3 ; x2 x3 ;

2)Bx 1; x1 x3 ; x2 x3 ;

3)Cx x1; x1 x3 ; x2 x3 .

Решение. 1) Проверим выполнение условий для преобразова-

ния Ax x12 ; x1 x3 ; x2 x3 ;

Имеем: A x y x1 y1 2 ; x1 y1 x3 y3 ; x2 y2 x3 y3 ; Ax Ay x12 ; x1 x3 ; x2 x3 y12 ; y1 y3 ; y2 y3

x12 y12 ; x1 y1 x3 y3 ; x2 y2 x3 y3

Правые части равенств не совпадают, следовательно, A x y Ax Ay , т.е. 1- ое условие не выполнено, и преоб-

разование не является линейным.

2) Проверим выполнение условий для преобразования

Bx 1; x1 x3 ; x2 x3 .

76

Имеем B x y 1; x1 y1 x3 y3 ; x2 y2 x3 y3 ;

Bx By 1; x1 x3 ; x2 x3 1; y1 y3 ; y2 y3

2; x1 y1 x3 y3 ; x2 y2 x3 y3 .

Аналогично получаем, что преобразование не является линейным 3) Проверим выполнение условий для преобразования

Cx x1; x1 x3 ; x2 x3 .

Имеем C x y x1 y1; x1 y1 x3 y3 ; x2 y2 x3 y3 ; Cx Cy x1; x1 x3 ; x2 x3 y1; y1 y3 ; y2 y3

x1 y1; x1 y1 x3 y3 ; x2 y2 x3 y3 .

Первое условие выполнено.

Проверим выполнение второго условия:

C x x1; x1 x3 ; x2 x3 x1; x1 x3 ; x2 x3 Cx.

Оба условия для линейного преобразования выполнены, следовательно преобразование Cx x1; x1 x3 ; x2 x3 . яв-

ляется линейным.

Определение. Пусть A - линейный оператор в линейном пространстве L и B e1 ,...,en - некоторый фиксированный

базис. Разложим векторы Aek , k 1, n по базису B :

Aek a1k e1 ... ank en , k 1, n .

Тогда матрица

называется матрицей оператора A в базисе B . Заданием матрицы оператор определяется однозначно. Пусть A и A - матрицы оператора в базисах B и B , а T TB B - матрица перехода от базиса B к базису B .Тогда формула преобразо-

77

вания матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид

Решение. Найдем матрицу перехода Te e , записывая коэф-

пользуя формулу для вычисления обратной матрицы, нахо-

78

Эта однородная система линейных уравнений, матричная форма записи которой определяется выражением (2). Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, ко-

гда det (A-I) = 0.

Определение. Для всякой квадратной матрицы А уравнение det (A-I) = 0 (4)

относительно переменной , где I - единичная матрица, назы-

вается характеристическим (вековым) уравнением, а многочлен det(A-I) - характеристическим многочленом матрицы

А.

Определение. Совокупность всех собственных значений матрицы А называется её спектром (А) , причем каждое собственное значение входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (4). Если характеристическое уравнение (4) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.

Свойства матрицы А, связанные с её собственными значени-

ями, называются спектральными свойствами матрицы А. К

основным из них относятся следующие:

n

1. det A = i ( читается: "произведение по i от 1 до n" );

i 1

n

2.Sp A = i ;

i1

3.если матрица А имеет диагональный или треугольный вид, то i = aii , i=1, n ;

4. если i - собственные значения матрицы А, то ki , i=1, n , -собственные значения матрицы Аk.

Теорема о спектре. Для того, чтобы число было собственным значением матрицы А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (2) матрицы А.

80