Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 609

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Теорема (о приведении действительной симметрической матрицы к диагональному виду).

Пусть A - действительная симметрическая матрица (aij = aji, i, j 1, n ). Тогда:

1.Все собственные значения матрицы A действительны;

2.Собственные векторы матрицы A, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны;

3.Матрица A приводится к диагональному виду с помощью ортогональной диагонализирующей матрицы S преобразованием STAS = , причём на диагонали матри-

цы стоят собственные значения матрицы A.

Метод ортогональной матрицы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Пусть дана квадратичная форма Q = XTAX. Т.к. A - симметрическая матрица, то по теореме о приведении действительной симметрической матрицы к диагональному виду для неё существует ортогональная диагонализирующая матрица S, такая, что

		0	0	0	0
	1	2		0
T	0	2	0	0	0	,
S AS = =						,


	0	0	0	0
	0	0	0	0	n

где i, i 1, n , - собственные значения матрицы A.

Подвергнем квадратичную форму линейному преобразованию X = SY, где Y – вектор-столбец новых переменных

	y			T . Тогда Q = XTAX =
yi, i 1, n , : Y =	y	y	y	T . Тогда Q = XTAX =
	1	1	1

(SY)TA(SY) = YTSTASY = YT(STAS)Y = YTY =

				1		0			0			y1
					0	2			0
= y1 y2					0	2			0			y2
	yn													=
	yn													=


					0	0						y	n
										n			n
								y
									1
y		y	2		y		n	y	2		=
1	1	2	2			n	n



								yn

= y1 1 y1 y2 2 y2 yn n yn 1 y12 2 y22 n yn2 .

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Приведение квадратичной формы к нормальному виду.

Пусть квадратичная форма (1) приведена к каноническому виду

F c y2	c y2		c y2	c y2	c	y2		c y2	, где
1 1	2 2		k k	k 1 k 1	k 2	k 2		n n

ci 0,

i 1, n .

Совершим дополнительное преобразование перемен-

ных:

, т.е. y

, i 1, n .

Оно приведёт форму F к нормальному виду:

1 c

k c

k 2

n c

z2 z

z2.

k 1

Пример. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму

Q x1 , x2 2x12 4x1 x2 5x22

и записать её в каноническом и нормальном видах.

Решение.

1. Выпишем матрицу квадратичной формы.

	2	2
A			.
	2	5
	2	5

2. Найдём собственные значения матрицы A. Для этого составим характеристическое уравнение det A I 0.

	2	2	2 5		4	2	7 6 0 .

	2	5

Откуда 1 1;				2 6 .

3.Найдём собственный вектор x1 , отвечающий собственному значению 1 1. Для этого решим систему линей-

										x
ных уравнений			A I x					0,	x	x
ных уравнений			A I x					0,	x		1	.
							1		1
										x2
2 1	2	x1				0	;	1	2		x1			0	;
2	5				=		;						=		;
2	5	x		2		0		2	4		x			0
	1			2								2

		x 2x				0		x 2x			0
		1			2		0		1	2	0	x1	2x2	0 x1	2x2 ;
	2x 4x				2		0		x 2x	2	0
		1			2				1	2
			2x	2	x			2
	x		2x					2
	x							.
1			x2				2
			x2					1
			Положив x2 = 1, получим собственный вектор
			2
	x		2
	x		.
1
			1
											93

4.Найдём собственный вектор x2 , отвечающий собственному значению 2 6 . Для этого решим систему линей-

													x
ных уравнений			A I	x			0,			x			x
ных уравнений			A I	x		2	0,			x		2		1	.
						2						2
													x2
	2 2	2	x1					0	4					2		x1		0	;
					=				;								=		;
	2										2							0
	2	5 2 x2						0			2			1		x2		0

4x1				2x2		0			2x1		x2			0	2x1	x2 0 x2 2x1 ;
				x		0				2x	x			0	2x1	x2 0 x2 2x1 ;
	2x			x	2	0				2x	x		2	0
			1		2					1			2
				x			x			1
	x			x						1		. Положив x1				= 1, получим соб-
	x				1				2			. Положив x1				= 1, получим соб-
		2		2x				1	2
					1

														1
		ственный вектор							x					1
		ственный вектор							x		2				.
											2			2
														2
5.		Нормируя собственные векторы x1 и x2 , получим орто-
		нормированные собственные векторы:
														2

			x1				x1			x
														5
											1				.
	e										1				.
1						2		2						1
1			x1	2			1				5


														5
														5
															1

			x2					x2					x2
															5

e																	.
e															2		.
2			x2		12 2 2							5			2
2



																5

6.Ортогональная диагонализирующая матрица S, приводящая квадратичную форму к каноническому виду, будет иметь вид:

	2	1


	5	5
S =	5	5		.
S =	1	2		.
	1	2


	5

			5

7. Применив невырожденное линейное преобразование X =

						x1					y1					2			1
SY, X =								, Y =						, т.е.	x			y		y	2	,
SY, X =								, Y =						, т.е.	x			y		y		,
															1	5	1		5
						x2					y2					5			5
x			1			y		2	y		,		получим искомый канонический
x						y			y		,		получим искомый канонический
	2		5		1			5		2
вид квадратичной формы:
F y , y				2		y2						2	y2	1 y2	6 y 2			y2	6y2 .
		1		2			1	1				2	2	1		2	1				2

8. Совершив дополнительное преобразование переменных

z				y							z	; y	z	2
	1y				; z	2			6 y , т.е. y				z	2	, получим
	1y				; z				6 y , т.е. y						, получим
1			1	1					1	1	1	1		6
														6
нормальный вид квадратичной формы:
y , y			z 2		6			z22	z 2	z 2 .
y , y		2	z 2		6				z 2	z 2 .
1		2		1			6		1	2
							6

10. Численные методы решения систем линейных уравнений

Нормы матриц.

Нормой квадратной матрицы порядка n называется число,

обозначаемое A и удовлетворяющее свойствам:

1) A 0, A =0 A= ;

2) A = A , R;

3) A B AB ;

4) AB AB .

Нормы матриц широко используются для оценки погрешностей итерационных методов решения задач линейной алгебры.

Канонические нормы матриц.

1. m-норма Am max aij (берутся суммы модулей

i 1,n j 1

элементов по строкам и выбирается максимальная из них).

2. l-норма Al max aij (берутся суммы модулей эле-

j 1,n i 1

ментов по столбцам и выбирается максимальная из них).

			n	n
3. k-норма	A	k	aij2 (евклидова норма).


			i 1	j 1

Диагональное преобладание.

Вприкладных задачах часто приходится сталкиваться

слинейными системами, при решении которых можно не за-

ботиться о вредном воздействии неустранимых погрешностей на решение, спокойно применяя простейшую схему гауссова исключения (без выбора главного элемента). Это системы, для матриц которых выполнено условие диагонального преобладания:

	n
aii		aij	i 1, n .
	j 1
	j i

Это условие остаётся справедливым после каждого шага исключений в процессе приведения матрицы к треугольному виду, т.е.

aii aij(k ) , i 1, n k 1, n 1.

j 1 j i

Это означает, что перед каждым исключением неизвестной разрешающий элемент будет находиться на главной диагонали.

Обусловленность системы.

Источником неустранимой погрешности решения системы линейных уравнений являются не только округления при выполнении вычислительных операций, но также ошибки, со-

держащиеся в исходных данных.
Пусть вместо системы
AX=f	(1)
решается задача
(A+ A)(X+ X)=f+ f,	(2)

где A – матрица возмущений, моделирующих ошибки коэффициентов исходных уравнений (1), f – возмущения правых частей, X – обусловленный этими возмущениями век- тор-столбец ошибок , отличающий решение системы (2) от решения системы (1). Тогда для относительной погрешности решения справедлива оценка:

(3)

где A=CondA=

A 1

Значение

называется

числом

обусловленности матрицы A. Оно определяет, насколько сильно погрешности входных данных могут повлиять на решение системы. Всегда A 1. Если 1< A<10, ошибки входных данных слабо сказываются на решении, система (1) называет-

ся хорошо обусловленной. Если A103, система (1) плохо обусловлена, решение её сильно зависит от ошибок в правых частях и коэффициентах.

Пример. Рассмотрим систему:

100x1 99x2 19999x2 98x2 197

Её решение x1=x2=1.

Исказим теперь слегка её правые части.

100x1 99x2 198,9999x2 98x2 197,01 .

Решение искажённой системы: x1=2,97, x2=-0,99. Чтобы сопоставить полученные результаты с оценкой (3), будем пользоваться m-нормой.

			199								0,01				f			max(199;197) 199
			199								0,01				f			max(199;197) 199
	f					, f														.
	f					, f														.
														f		max(			0,01;0,01) 0,01
			197									0,01		f		max(			0,01;0,01) 0,01
				Относительная погрешность
	f				0,01		1		10 4				0,005 0	0 . Это очень малая величина.
	f

		f			200		2


				Далее,				A			max(100 99;99 98) max(199;197) 199 .
				Далее,				A			max(100 99;99 98) max(199;197) 199 .
det A							99			=9800-9801= -1 0;
det A					100		99			=9800-9801= -1 0;
						99	98
A 1						98		99					98	99
A 1																	.
							100							100
					99		100						99	100

A 1 max(-98 +99;99+-100 )=max(197;199).

A=	A	A 1	1992			39601 4 104 .
A=	A	A 1	1992			39601 4 104 .
				X			10 4
							10 4
Согласно (3)						4 10	4		0	2 , что, как видно,


					X			2
					X			2

согласуется с результатами решения рассмотренных систем.

Метод итераций приближённого решения системы линейных уравнений.

При большом числе неизвестных схемы, дающие точное решение, становятся очень сложными. Удобней пользоваться приближёнными методами.

Пусть дана система линейных уравнений:

a11 x1 a12 x2 ...		a1n b1
	a22 x2	a2n b2
a21 x1
........................................

	an 2 x2	ann bn
a n 1 x1
	Допустим,	что все

диагональные элементы aii0

i 1, n .

Систему разрешают относительно диагональных элементов:

x1 = 1+ 12 x2+ 13 x3+…+ 1n xn x2 = 2+ 21 x1+ 23 x3+…+ 2n xn

………………………………………………………

xn = n+ n1 x1+ n2 x2+…+ n-1,n xn,

aij

,i j, i, j

1, n,

0 .

где

aii

Получаем другую матрицу

порядка n n и столбец

свободных членов

T .

Полученную систему линейных уравнений X=+X будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем столбец свободных членов:

X(0)= . Далее, последовательно строим вектор-столбцы X(1)= +X(0) (1-ое приближение),

X(2)= +X(1) (2-ое приближение), и т.д.

X(k+1)= +X(k) ((k+1)-ое приближение).

Запишем формулы приближений в развёрнутом виде:

x	(0)		i
	i		i
				n
xi( k 1)		i		ij x (jk ) ,ii	0, i 1, n, k 0,1, 2,...

j 1

Метод последовательных приближений, определяемый этими формулами, называется методом итераций.

На практике вычисления проводят до тех пор, пока

max xi(k 1) xi(k ) , где - требуемая точность вычислений.

1 i n

Этот метод хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы линейных урав-

нений с заданной точностью невелико, если ij , i, j 1, n , ма-

лы по абсолютной величине, т.е. модули диагональных коэффициентов матрицы A должны быть малы по сравнению с модулями недиагональных элементов этой матрицы (свободные члены при этом роли не играют).

Сходящийся процесс итераций обладает свойством самоисправляемости, т.е. отдельная ошибка в вычислениях не отражается на окончательном результате, т.к. ошибочное приближение можно рассматривать как новый начальный вектор.

Достаточное условие сходимости метода итераций.

Процесс итераций для приведённой системы линейных уравнений сходится к единственному её решению, если ка-

кая-нибудь каноническая норма матрицы меньше 1, т.е. для итерационного процесса X(k)=+X(k-1) (k=1, 2, …) (X(0) –

произвольно) достаточное условие сходимости есть 1.

Пример. Методом итераций решить систему линейных уравнений с точностью = 0,001.

1,02x1	0,05x2	0,10x3	0,795
	1,03x2	0,05x3	0,849 .
0,11x1
	0,12x2	1,04x3	1,398
0,11x1
	100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.7 Mб4Методическое пособие 604.pdf
#
30.04.20222.71 Mб5Методическое пособие 605.pdf
#
30.04.20222.72 Mб2Методическое пособие 606.pdf
#
30.04.20222.72 Mб2Методическое пособие 607.pdf
#
30.04.20222.72 Mб11Методическое пособие 608.pdf
#
30.04.20222.72 Mб2Методическое пособие 609.pdf
#
30.04.2022299.52 Кб3Методическое пособие 61.doc
#
30.04.2022327.68 Кб2Методическое пособие 61.pdf
#
30.04.20222.75 Mб3Методическое пособие 610.pdf
#
30.04.20222.75 Mб3Методическое пособие 611.pdf
#
30.04.20222.77 Mб15Методическое пособие 612.pdf