Методическое пособие 609
.pdf
Пример. Найти национальные доходы x1, x2, x3 торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли. Структурная матрица торговли трёх стран имеет вид:
|
|
|
|
|
|
1/ 3 |
1/ 2 |
1/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A 1/ 3 |
1/ 2 1/ 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Решение. Найдём собственный вектор X, отвечающий |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
собственному значению |
|
λ=1, |
решив уравнение |
(А-λI)X= 0. |
||||||||||||||||||||||||
Система уравнений имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 / 3 |
1/ 2 |
1/ 4 x1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1/ 3 |
1/ 2 |
1/ 2 |
|
x |
|
|
|
0 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 3 |
0 |
3/ 4 |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 / 3x1 1/ 2x2 1/ 4x3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1/ 2x2 1/ 2x3 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1/ 3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1/ 3x |
|
3/ 4x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из третьего уравнения системы находим |
x |
|
|
9 |
x . Из |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
||
второго уравнения системы находим |
x |
|
2 |
|
9 |
x |
x |
|
|
|
5 |
x . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
||||
Подставляя выражения для x1 |
и x2 |
в первое уравнение систе- |
||||||||||||||||||||||||||
мы, получим: 23 94 x3 12 25 x3 14 x3 0 или 0=0, т.е. тождество. Таким образом, получаем общее решение системы:
x1 94 x3 , x2 25 x3 , x3=c, c=const.
Из приведённых вычислений видно, что сбалансированность торговли трёх стран достигается при векторе нацио-
191
|
|
|
|
|
9 |
|
|
5 |
|
|
|||
нальных доходов |
X |
|
|
|
c; |
|
c;c |
, т.е. при соотношении |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|||
национальных доходов |
9 |
|
: |
5 |
:1 или 9:10:4. |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
9 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. X |
|
c; |
|
|
|
c;c . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для повторения.
1.Балансовая модель. Модель Леонтьева. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат. Основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Продуктивная матрица. Признаки продуктивности.
2.Модель Неймана. Пространство товаров. Вектор цен. Базисные производственные процессы. Матрицы затрат и выпуска. Вектор интенсивностей.
3.Международная модель торговли (линейная модель обмена). Структурная матрица торговли.
Задачи для самостоятельного решения.
14. Предприятие выпускает продукцию двух видов: первый цех специализируется на выпуске продукции первого вида, второй цех – продукции второго вида. Часть выпускаемой продукции идёт на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом. Требуется составить баланс (заполнить таблицу) производства продукции (валового и конечного продукта) с учётом внутреннего потребления, если известны матрица коэффициентов прямых
затрат |
А |
и |
вектор |
конечной продукции Y: |
|||
|
500 |
|
|
|
0,2 |
0,3 |
|
Y |
50 |
|
, |
A |
0,1 |
0,4 |
. |
|
|
|
|
|
|||
15. Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Yi. Требуется определить:
192
1) |
межотраслевые поставки продукции; |
|
|
|
||||||||||
2) |
заполнить схему баланса; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) проверить продуктивность матрицы А. |
|
|
||||||||||||
|
Отрасли |
Коэффициенты прямых |
|
Конечный про- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
затрат aij |
|
|
|
|
дукт Yi |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0,1 |
|
|
|
0,2 |
|
|
|
200 |
|
|
|
2 |
|
|
0,4 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
240 |
|
|
16. |
Найти матрицы коэффициентов прямых, косвенных |
|||||||||||||
(1-го и 2-го порядков) и полных затрат. Найти объёмы ва- |
||||||||||||||
лового продукта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отрасли |
|
Межотраслевые поставки |
Конеч- |
||||||||||
|
|
|
|
промышлен- |
|
сельское хо- |
ный |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ность |
|
|
|
зяйство |
продукт |
|||
промышлен- |
|
|
|
45 |
|
|
|
|
55 |
70 |
|
|||
|
ность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сельское |
|
|
|
90 |
|
|
|
|
40 |
90 |
|
||
|
хозяйство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Даны матрицы |
|
2 |
1 |
B |
|
3 |
2 |
|
|
|
||||
A |
|
|
, |
|
|
|
технологических |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
4 |
4 |
|
|
|
процессов и вектор цен P=(3, 5) в модели Неймана. Найти, сколько потребуется запасов и сколько будет произведено продукции при интенсивности z1=2, z2=3 технологических процессов.
18. Структурная матрица торговли трёх стран имеет вид
|
0, 2 |
0,3 |
0, 4 |
|
A |
0,5 |
0, 4 |
0, 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
0,3 |
0, 4 |
|
|
|
Найти бюджеты первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.
193
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Внастоящем учебном пособии были рассмотрены методы линейной и векторной алгебры, изучаемые студентами первого курса инженерно-экономического факультета в дисциплинах «Математика» и «Линейная алгебра», а также рассмотрено применение этих методов к решению экономических задач. Рассмотрены задача линейного программирования, экономико-математические модели межотраслевого баланса Леонтьева, «затраты-выпуск» Неймана, модель международной торговли.
Впособии введены и подробно рассмотрены такие важнейшие математические понятия, как матрицы и матричные уравнения, системы линейных уравнений, евклидовы векторные пространства, разложение вектора по базису. Большое количество теоретического материала в пособии и задач, подкрепляющих его, поможет студентам наиболее полно овладеть материалом и подготовиться к дальнейшему изучению дисциплин, использующих математический аппарат.
Данное пособие может использоваться студентами при подготовке к практическим занятиям, при выполнении типовых расчётов, а также в качестве справочника при изучении специальных предметов.
Пособие может быть рекомендовано начинающим преподавателям при подготовке курса лекций по математическим дисциплинам.
194
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Акулич. - CПб.: Лань, 2009.-347с.
2.Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике / Ю. Альбрехт , Л. Коллатц. - М.: Мир, 1978.-168с.
3.Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова - М.: Высшая школа, 1994. - 544с.
4.Математика в экономике / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. - М.: Финансы и статистика, 2000. - Ч.1. -224с.
5.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и
линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -304с.
6.Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. –М.: Дрофа, 2004. –Т.1. -288с.
7.Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -479с.
8.Высшая математика. Общий курс / под ред. А.И. Яблонского. — Минск: Вышэйш. шк., 1993. -349с.
9.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- М.: Высш. шк., 1999. - Т.2. -
416с.
10.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов / А.Н. Колесников. - М.: Инфра-М, 2001. - 208с.
11.Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике / В.И. Косарев. - М.: Изд-во МФТИ, 2000. -
224с.
195
12.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры / А.И. Кострикин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -
272с.
13.Красс М.С. Математика для экономических специальностей / М.С. Красс. - М.: Дело, 2003. -704c.
14.Красс М.С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: Дело, 2003. -688с.
15.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа
/Л. Д. Кудрявцев. - М.: Физматлит, 2005. Т.1. -400с.
16.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты / Л.А. Кузнецов. - СПб.:
Лань, 2008. -240с.
17.Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел
/Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. - М.: Просвещение, 1993. -288с.
18.Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование / И.В. Орлова, В.А. Половников. - М.: Вузовский учебник, 2008. -
365с.
19.Сборник задач и упражнений по высшей математике. Общий курс / под ред. А.И. Яблонского. - Минск: Вышэйш. шк., 1994. -349с.
20.Шипачёв В.С. Высшая математика / В.С. Шипачёв. —
М.: Высш. шк., 1998. - 479с.
21.Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачёв. - М.: Высш. шк., 2006. -304с.
196
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
ВВЕДЕНИЕ |
.................................................................................. 3 |
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ,
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ .. |
4 |
|
1. |
Элементы теории множеств и комплексных чисел ......... |
4 |
|
1.1. Понятие множества. Операции над множествами..... |
4 |
|
1.2. Числовые множества и их свойства. ........................... |
6 |
2. |
Алгебра многочленов. ....................................................... |
15 |
ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ............................. |
19 |
|
1. |
Алгебра матриц. ................................................................. |
19 |
2. |
Определитель n-го порядка............................................... |
22 |
|
2.1. Определение. Вычисление определителей 2 и 3-го |
|
|
порядков.............................................................................. |
22 |
|
2.2.Миноры и алгебраические дополнения. .................... |
27 |
|
2.3.Свойства определителя n-го порядка......................... |
29 |
3. |
Действия над матрицами................................................... |
33 |
|
3.1. Линейные операции над матрицами. ........................ |
33 |
|
3.2. Умножение матриц. .................................................... |
34 |
|
3.3. Многочлены от матриц. ............................................. |
37 |
|
3.4. Обратная матрица. ...................................................... |
38 |
|
3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы. 42 |
|
|
3.6. Ранг матрицы. Базисный минор. ............................... |
43 |
|
3.7. Нахождение ранга матрицы....................................... |
45 |
ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И |
|
|
МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ......................................................... |
53 |
|
1. |
Основные понятия и определения.................................... |
53 |
2. |
Условия совместности системы линейных уравнений .. |
55 |
3. |
Метод обратной матрицы.................................................. |
56 |
4. |
Правило Крамера ............................................................... |
57 |
5. |
Метод Гаусса исключения неизвестных.......................... |
58 |
6. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента ...... |
63 |
|
|
6.1. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента |
|
|
по столбцам матрицы ........................................................ |
63 |
|
197 |
|
6.2. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента |
|
по строкам матрицы. .......................................................... |
64 |
6.3. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента |
|
по всей матрице .................................................................. |
64 |
7. Метод полного исключения .............................................. |
67 |
7.1. Решение систем линейных уравнений ...................... |
68 |
7.2.Вычисление обратной матрицы методом полного исключения…………………………………………...69
7.3.Вычисление ранга матрицы методом полного
исключения ......................................................................... |
70 |
|
8. Собственные значения и собственные векторы матриц.79 |
||
9. Квадратичные формы......................................................... |
84 |
|
10. Численные методы решения систем линейных |
|
|
уравнений ................................................................................ |
95 |
|
ГЛАВА 4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ....................................... |
106 |
|
ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ |
||
.................................................................................................... |
|
121 |
1. |
Постановка задачи линейного программирования |
|
(ЗЛП).................................................................................. |
121 |
|
2. |
Графический метод решения ЗЛП .............................. |
122 |
3. |
Симплекс – метод решения ЗЛП................................. |
126 |
4. |
Двойственные ЗЛП....................................................... |
138 |
5. |
Транспортная задача (ТЗ) ............................................ |
147 |
ГЛАВА 6. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ ................................... |
177 |
|
1. |
Экономико-математическая модель (ЭММ) |
|
межотраслевого стоимостного баланса (модель |
|
|
Леонтьева) ......................................................................... |
177 |
|
2.Модель Неймана……………………………………...185
3.Модель международной торговли…………………..189
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………194
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………195
198
Учебное издание
Пашуева Ирина Михайловна Шелковой Александр Николаевич
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ВЭКОНОМИКЕ
Вавторской редакции
Подписано к изданию 31.08.2017. Объём данных 1,22 Мб
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
199