Методическое пособие 609

ют в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Матрица А коэффициентов прямых материальных затрат задаётся и является продуктивной. Матрицу B можно найти одним из следующих способов.

k 0

Обязательным условием корректности этих расчётов является продуктивность матрицы I-A. При расчётах ограничиваются учётом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например, до второго и третьего порядков. В этом способе коэффициенты полных материальных затрат получаются с приближением по недостатку.

Пример. Задана матрица А коэффициентов затрат трёх отраслей и вектор конечной продукции Y.

1)Проверить продуктивность матрицы I-A.

2)Построить баланс производства и распределения продукции отраслей.

181

Решение. Проверим выполнение первого условия продуктивности матрицы I-A. матрица А должна быть неотрицательно обратима, т.е. должна существовать обратная матрица (I-A)-1 0. Чтобы проверить это, используем второе свойство:

Матрица В не содержит отрицательных элементов матрица А продуктивна она позволяет обеспечить определённый выпуск конечной продукции по всем отраслям.

Найдём вектор-столбец X=BY валовой продукции по отраслям.

Для нахождения первого столбца матрицы межотраслевого баланса нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на элемент x1 вектора-столбца Х.

0,3 119=35,7

0,2 119=23,8

0,4 119=47,6

Аналогично вычисляются элементы второго и третьего столбцов матрицы межотраслевого баланса.

Пример. Пусть даны три отрасли, потребляющие и производящие, и дана конечная продукция по трём отраслям.

183

Промежуточное потребление по каждой отрасли соответственно представлено в таблице. Найти объём валовой продукции каждой отрасли, а также матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат и матрицу коэффициентов полных материальных затрат.

Решение.

n

Xi xij Yi , i 1,3.

i 1

Х1=200+50+300+200=750; Х2=150+250+10+100=510; Х3=230+50+150+300=730.

Матрица А коэффициентов прямых материальных затрат состоит из коэффициентов аij, смысл которых заключается в

том, что для производства продукции в j-ой отрасли, j 1,3,

требуется определённое количество затрат промежуточной продукции в i-ой отрасли, равное аij.

aij xij , i, j 1,3.

X j

a11 750200 0,27; a21 150750 0,2; a31 750230 0,31;

a12 51050 0,098; a22 510250 0,49; a32 750230 0,098; a13 300730 0,41; a23 73010 0,01; a33 150730 0,21.

184

Эта матрица показывает, сколько потреблено промежуточной продукции. Матрица коэффициентов полных материальных затрат В=(I-А)-1. Вычислим её.

A11 0,3; A12 0,1; A13 0,1; A21 0,2; A22 0,3; A23 0,2; A31 0, 4; A32 0, 2; A33 0,3.

Следовательно,

2. Модель Неймана

Рассмотрим более общую модель Неймана. Рассмотрим экономику, описываемую парой (С, К), где С – пространство товаров, а К – множество производственных процессов, перерабатывающих некоторые количества товаров в другие количе-

185

ства тех же товаров. Под товаром (продуктом) понимаем как первичные факторы производства (земля, труд) и сырьё (нефть, уголь), так и конечные продукты производства, услуги и т.п. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается xi, тогда некоторый набор товаров обозначается X=(x1, ,xn), т.е. является n-мерным вектором. Т.к. количества товаров неотрицательны, то для любого i=1, ,n xi 0 или X0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Это множество называется пространством потому, что в нём можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, а не авианосцев).

Предполагаем, что каждый товар имеет цену. Все цены предполагаются строго положительными. Пусть цена единицы i-го товара есть pi, тогда вектор P=(p1, ,pn) есть вектор цен.

Набор товаров, как вектор, имеет ту же размерность, что и вектор цен. Для набора товаров X=(xi) и вектора цен P=(pi) их скалярное произведение P X= =p1x1++pnxn есть число,

называемое ценой набора или его стоимостью.

Множество К производственных процессов имеет в своей основе конечное число процессов (Q1, ,Qm), которые называются базисными. Каждый базисный процесс представляет собой пару векторов Qj=(,Bj) из С. (Векторы Aj, Bj – это векторы-столбцы. Содержательный смысл процесса Qj таков: он затрачивает вектор Аj=(aij) и выпускает вектор Bj=(bij), т.е. перерабатывает вектор Аj в вектор Bj. По смыслу все векторы Aj, Bj неотрицательны. Обозначив А=(А1,,Аm), B=(B1, ,Bm), получаем, что технология нашей модели зада-

186

ётся парой неотрицательных матриц A, B; матрица A называ-

ется матрицей затрат, B – матрицей выпуска.

Комбинируя базисные процессы, можно получить новые процессы. Так, возьмём неотрицательные числа zi, i=1, ,m, и определим новый производственный процесс

m

z1Q1++zmQm, в котором затраты есть вектор zk Ak , а вы-

k 1

m

пуск есть вектор zk Bk ; полученный производственный

k 1

процесс кратко обозначим (AZ, BZ). Вектор-столбец Z=(zi) называется вектором интенсивностей. Получившееся более широкое множество процессов и обозначим К.

Можно заметить, что в то время как базисные процессы Q1, ,Qm соответствуют, вообще говоря, реальным отраслям, заводам, фабрикам, каждый элемент (X, Y)K есть некоторый фиктивный процесс, описывающий определённый режим совместной работы этих отраслей, заводов, фабрик. При этом X есть вектор затрат, Y – вектор выпуска.

Рассмотренная ранее модель Леонтьева есть частный случай модели Неймана при n=m, B=I. Основное отличие модели Неймана состоит в том, что всякий базисный процесс может выпускать не один продукт. Модель Неймана линейна. Пример. Решим стандартную задачу на модель Неймана.

сов, максимизирующие стоимость выпуска продукции за один производственный цикл, и эту самую максимальную стоимость.

187

Решение. Пусть Z z1 - вектор-столбец искомых интен-

z2

сивностей, тогда для их нахождения имеем задачу линейного программирования:

z1, z2 0.

Решим эту задачу графическим методом.

Найдём координаты точки максимума.

Откуда 21z1=42. Следовательно, z1=2 и z2=2.

Точка максимума (2, 2) и максимальная стоимость продукции, которая может быть выпущена за один цикл, равна 220.

188

Рис.21. Графический метод решения задачи на модель Неймана

3.Модель международной торговли

Спомощью модели международной торговли (другое её название – линейная модель обмена) можно определить, какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной.

Рассмотрим модель международной торговли, в которой участвуют n стран. Обозначим:

xi – национальный доход i-ой страны;

aij – доля национального дохода j-ой страны, которую она расходует на закупку товаров i-ой страны;

pi – общая выручка от внутренней и внешней торговли для i-ой страны.

Предположим, что каждое государство расходует весь свой национальный доход на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран. Это означает, что

i 1

189

Матрица А, элементами которой являются коэффици-

енты aij, называется структурной матрицей торговли. Сумма элементов каждого столбца этой матрицы равна единице.

Предположим, что в течение определённого фиксированного промежутка времени структура международной торговли не меняется (не меняется структурная матрица тор-

говли), а национальные доходы торгующих стран могут измениться.

Требуется определить, какими могут быть эти национальные доходы, чтобы сумма платежей всех государств была равна суммарной выручке от внешней и внутренней торговли.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли составит:

pi=ai1x1+ai2x2++ainxn.

В сбалансированной системе международной торговли не должно быть дефицита, т.е. у каждой страны выручка от торговли должна быть не меньше её национального дохода:

pixi, i 1, n.

Последнее неравенство справедливо только в случае, когда pi=xi, i 1, n, т.е. у всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должна совпадать с национальным доходом.

В матричной записи это означает, что имеет равенство AX=X, где A - структурная матрица международной торговли, а X – вектор национальных доходов.

Вектор X является собственным вектором структурной матрицы торговли A, а соответствующее собственное значение равно единице. Отсюда следует, что баланс в международной торговле будет достигнут, если единица является собственным значением структурной матрицы

международной торговли, а вектор национальных доходов торгующих стран – собственным вектором, отвечающим этому единичному собственному значению.

190