Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 609

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

2. Данная схема чувствительна к ошибкам округления – большие погрешности при делении на малые числа, появление больших по величине промежуточных результатов, потеря точности при вычитании больших (близких друг к другу) чисел.

Пример. Решим методом Гаусса ту же самую систему линейных уравнений, которую мы решали методами обратной матрицы и Крамера.

3					2			1							11
3					2			1				5			11
					1 1
1					1 1							0			1
				1				5				3
4				1				5				3			11
	3				2											1								11
	3				2											1				5				11
	0 3 1 2 1											3 1 1 1								3 0 5 1				3 1 11 1	=
	0 3 1 2 1											3 1 1 1								3 0 5 1				3 1 11 1	=
	0						2 4							3 5 1 4								3 5 1 4		3 11 11 4

			3 1
3
3				2		1			5			11					11						11
	0 1 4									5				8		8							8
	0 1 4									5				8		8							8
	0 11 1111											11				11							11

3												11
3				2		1				5		11
	0 1 4									5
	0 1 4									5				8	~
	0			1 1						1		1
	0			1 1						1		1
	3						2							1								5		11
	3						2							1								5		11
	0					1							4									5		8		=
	0					0					1 1 4 1								1 1 5 1					1 1 8 1

	3													11				11 11
	3				2			1			5			11				11 11
		0			1 4						5			8			8				8
=		0			1 4						5			8			8				8
		0			0			3			6			9				9		9
		0			0			3			6			9				9		9

3 1 0 1 2 1 0 1							0				5 1 2 1				11 1 3 1
3 1 0 1 2 1 0 1							0				5 1 2 1				11 1 3 1
			1 1 4 0								5 1 4 2							=
		0	1 1 4 0				0				5 1 4 2			8 1 4 3				=
		0	0					1				2			3
											8 8
3 2 0 0					3	8					8 8
	0	1 0 0			3	4					4 4
	0	1 0 0			3	4					4 4
	0 0 1 1				2	3					3 3
	0 0 1 1				2	3					3 3
	3 1 2 0 0						0			3 1 2 3					8 1 2 4
	3 1 2 0 0						0			3 1 2 3					8 1 2 4

		0	1				0					3				4			=
		0	0				1			1 2 0 3					1 3 4 0
		0	0				1			1 2 0 3					1 3 4 0
	3 0		0	3			0		0 0				1		0 0		1		0
	3 0		0	3			0		0 0				1		0 0		1		0
									4 4
=		0 1 0		3			4		4 4					0	1 0		3		4
		0 0 1		2			3		3 3					0	0 1		2		3
		0 0 1		2			3		3 3					0	0 1		2		3
Получаем ответ:						x 1, y 3, z 2 .

Вычисление определителя методом Гаусса.

Прямым ходом метода Гаусса определитель приводится к диагональному виду с той же лишь разницей, что на каждом шаге определитель делится на разрешающий элемент с показателем степени, равным количеству преобразуемых строк; при перестановке строк определитель меняет знак на противоположный; общий множитель строки (столбца) выносится за знак определителя.

Пример. Вычислить определитель:

2	5	1	2
2	5	1	2
3	7	1	4	.
5	9	2	7	.
4	6	1	2

Решение.
				2				5 1 2									2	5 1 2									0
				2				5 1 2					0				2	5 1 2									0
						3		7 1 4					7			1	0	1 1						14			14
						5		9	2		7		5	23			0	7	1						4		10
						4		6	1		2		1				0	8	2					4			2
								5	1		2				0						2				5			1		2	0
							2	5	1		2				0						2				5			1		2	0
		1					0	1	1		14				14		1	1			0				1			1		14	14
		1															1	1
																	22	( 1)2
22							0	7	1		4				10		22	( 1)2			0				0			6	102			108
							0	4	1			2			1						0				0			3	54			57
												5		1			2	0								2		5	1	2		0
										2		5		1			2	0								2		5	1	2		0
	1				( 6) ( 3)					0		1 1					14	14		9		1				0		1	1	14		14
					( 6) ( 3)					0							14	14								0				14		14
2			2																		1
			2							0	0			1			17	18		2			1			0		0	1	17		18
										0	0			1			17	18		2						0		0	1	17		18
										0	0			1			18	19								0		0	0	1		1

92 2 ( 1) 1 1 9 (т.к. определитель треугольной матри-

цы равен произведению элементов главной диагонали).

6. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента

6.1. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцам матрицы

Перед исключением x1 отыскивается max ai1 .Этот элемент

1 i m

называется главным элементом. Допустим, максимум соответствует i=i0.Тогда первое уравнение в исходной системе линейных уравнений меняем местами с i0–ым уравнением. После этого осуществляется 1-ый шаг исключения. Затем перед исключением x2 из оставшихся уравнений отыскивается

max	a(1)	, осуществляется соответствующая		перестановка
2 i m	i 2
2 i m
нений и т.д.
6.2. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента
		по строкам матрицы

Перед исключением x1 отыскивается max			a1 j	. Пусть мак-
		1 j m

симум достигается при j=j0. Тогда поменяем взаимно номера у неизвестных x1 и x j0 (максимальный по величине из коэф-

фициентов 1-го уравнения окажется в позиции a11) и приступим к процедуре исключения x1 и т.д.

6.3. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице

На 1-ом шаге среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1 j1 . Первое уравнение системы и урав-

нение с номером i1 меняют местами и меняются взаимно номера у неизвестных x1 и x j1 (элемент ai1 j1 окажется в позиции

a11). Далее стандартным образом производят исключение не-
известного x j из всех уравнений, кроме 1-го.
1
На k-ом шаге среди коэффициентов a		(k 1)	при неизвестных в
	ij

уравнениях системы с номерами	i k, m		выбирают макси-
мальный по модулю коэффициент	a(k 1) . Затем k-ое уравне-
	i	j
	1	1

ние и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и меняются взаимно номера у неизвестных xk и

x j		(элемент	ai(kj 1)	окажется в позиции akk(k 1) ). Исключает-
	k		1 1

ся неизвестное x jk из уравнений с номерами

i k 1, m . На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: x jm , x jm 1 ,..., x j1 .

Наиболее надёжным является метод исключения с выбором главного элемента по всей матрице коэффициентов на каждом шаге исключения. Рассмотренные модификации метода Гаусса позволяют, как правило, существенно уменьшить неблагоприятное влияние погрешностей округления на результаты расчёта.

Пример. Систему линейных уравнений, решённую нами методом Гаусса, решим с помощью его модификаций.

Решение.

Схема с выбором главного элемента по столбцам.

3						11			4 1				11				4 1 5		11
3		2	1	5		11			4 1		5	3	11				4 1 5	3	11

		1	1	0		1			1 1 1			0		1			0 5 9	3	7
1		1	1	0		1			1 1 1			0		1			0 5 9	3	7
	(4)	1	5	3					3	2	1	5					0 11 11	11
	(4)	1	5	3		11			3	2	1	5	11				0 11 11	11	11
	4	1	5		3			11	4 1 5						3	11
	4	1	5					11
		5	9				7
0		5	9		3		7			0	5 9				3	7
		max
								1
0 1			1		1			1
									0 0 4						8	12
									0 0 4						8	12

4 1			5	3		11	4 1
4 1			5	3		11	4 1

	0	5	9		3	7		0 5
	0	0	1	2		3		0 0

4 1			0		7		4		0
						4
						4
		1
	0	1	0		3	4		0	1
	0	0	1		2	3		0	0
	0	0	1		2	3		0	0
Решение: x 1, y 3,								z 2.

0	7	4

0	15	20

1	2	3

0	4	0	1 0			0	1	0
0	4	0	1 0			0	1	0

0	3	4		0	1	0	3	4	.
1	2	3		0	0	1	2	3
1	2	3		0	0	1	2	3

Схема с выбором главного элемента по строкам.

3 2
3 2	1	5	11	3 2 1			5	11
	1
1 1	1	0	1		0	1 4	5	8
4 1					0	11 11	11
4 1	5	3	11		0	11 11	11	11
			11					11

3								11					x1	x3			x2						11
		2 1			5						3 1				2			5
		2 1									3 1				2			5
								8						4 9									8
0			max			5		8					0						5				8
0		1 4				5							0						5
							1																1
	0	1 1			1		1				0			1	1			1					1
	0	1 1			1

	3	1	2			5		11
	0	4		1		5		8
	0	4		1		5		8
	0	0 3				9		12
	0	0 3				9		12
3								11		3 1							1
3		1 2		5				11		3 1					0		1				3
	0	4	1	5				8				0 4			0		8						12
	0	4	1	5				8				0 4			0		8						12
	0	0 1		3			4					0 0			1		3					4

3						1		3	3 0							3				0				x1	x3	x2	1	0
3		1 0				1		3	3 0						0	3				0				1 0 0			1
		1 0																										3
	0	1 0				2		3				0 1			0	2				3				0 1		0	2
																												4
0		0 1						4	0 0						1	3				4				0 0		1	3
0		0 1						4	0 0						1	3				4				0 0		1	3
x			1
x			1
z			2
y			3

Схема с выбором главного элемента по всей матрице.

											11							4				1						11										x3	x2	x1		11
3 2			1			5					11							4				1		5	3			11								5			1	4	3	11

	1	1 1				0					1 1											1 1			0			1									1		1 1		0	1
	1	1 1				0					1 1											1 1			0			1									1		1 1		0	1
			5
4 1						3													3 2					1	5											1			2 3		5
4 1						3					11								3 2					1	5			11								1			2 3		5	11
	5 1		max																			5	1			4
								4	3							11													3			11


																									max
~		0 4						9	3							16						0		4 9					3			16

		0 11	11						22						44					0				1 1					2			4
		0 11	11						22						44					0				1 1					2			4
																								4 1
	4 1															11					5													3
								5							3																					11


			9							3						7								9
		0 5	9							3						7						0		9			4							3		16
		0 0	1							2								3				0		1			1							2		4
																						0		1			1
5		4 1					3							11						5			4 1					3			11



	0 9			4			3						16								0			9 4				3		16
	0 0			5			15						20								0			0 1				3		4
	0 0			5			15						20								0			0 1				3		4
	5 4														15						5														15
	5 4		0												15						5			4 0											15
								9																1							1
~		0 9	0					9									0					0		1				0			1					0
		0 0	1												4							0		0 1											4
		0 0	1												4							0		0 1											4
5 0													15							1			0 0 2										3
			0									10
			0									10
	0 1		0		1								0								0		1 0 1												0
	0 1		0		1								0								0		1 0 1												0	.
	0 0		1									3	4								0		0 1 3										4
	0 0		1									3	4								0		0 1 3										4

Решение z 2, x 1, y 3.

7. Метод полного исключения

Используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц, разложения вектора по базису, вычисления ранга матрицы.

7.1. Решение систем линейных уравнений

Первый шаг (соответствует исключению неизвестной x1) выполняется с разрешающим элементом a11 0 по правилам прямого хода метода Гаусса.

Общий шаг (соответствует последовательному исключению неизвестных x2, x3, ..., xn) выполняется по следующим правилам:

назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при исключаемой неизвестной;

элементы разрешающей строки остаются неизменными;

все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются таковыми до конца преобразований;

все прочие элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Контроль вычислений остается неизменным.

Решим ту же самую систему линейных уравнений методом полного исключения.

	3
	3	2 1	5	11	3	2 1	5	11

1 1		1	0	1	0	1 4	5	8
	4 1	5	3	11	0 11 11		11	11

3 2 1				5	11			3		0 9		15
		1 4		5						1 4		5
	0	1 4		5		8	~		0	1 4		5
	0	1 1		1	1				0	0 3		6
	0	1 1		1	1				0	0 3		6
											1
1 0 3			5		9		1		0 0		1
		1 4	5		8
	0	1 4	5		8			0 1 0			3
	0	0 1	2		3			0 0 1			2

Ответ: x 1, y 3, z 2 .

8 9

4 .

7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения

	a	a
	11	12
Дана матрица	a21	a22
Дана матрица	A
	... ...

		an2
	an1	an2

...	a
	1n
...	a2n	, det A 0.
... ...


...
	ann

Составляем расширенную матрицу, приписав справа к исходной матрице единичную матрицу, отделив её от исходной вертикальной чертой:

a		a		...	a			0	0	0	0
							1
	11	12				1n				0
a	21	a	22	...	a	2n	0	1	0		0
A*												.
... ...				...	...
				...				0	0	0	1
an1		an2			ann		0

Эта матрица подвергается преобразованиям по алгоритму полного исключения и слева от вертикальной черты получается единичная, а справа - обратная матрица А-1. При расчёте желательно вести контроль вычислений.

3		2	1
				найти А-1, пользуясь
Пример. Для матрицы А=	1	1	1	найти А-1, пользуясь
	4	1	5
	4	1	5

методом полного исключения.
Решение.
	3 2		1	1	0	0	7		3	2	1	1 0	0	7
	3 2		1	1	0	0	7		3	2	1	1 0	0	7
	1	1	1	0	1	0	2			1	4	1 3	0
	1	1	1	0	1	0	2	0		1	4	1 3	0	1
	4	1	5	0	0	1	9		0	11	11	4 0	3	1

3 0 9								3 6			0		9					1		0 3					1 2		0					3
3 0 9								3 6			0		9					1		0 3					1 2		0					3
	0 1					4		1 3			0				1			~	0	1 4				1 3			0				1 ~

	0 0				33			15 33			3			12					0	0 11					5 11		1			4
	0 0				33			15 33			3			12					0	0 11					5 11		1			4
11 0 0								4 11			3				21				1	0 1					4	1		3
																																	21
																																	21
																								11			11						11

	0 11 0							9 11			4					5	~ 0			1 0			9			1			4					5
	0 11 0							9 11			4					5	~ 0			1 0		11				1		11					11
																						11						11					11
	0 0 11							5 11			1				4									5					1					4
	0 0 11							5 11			1				4				0	0	1			5		1			1					4
					4					3									0	0	1	11				1		11					11
																						11						11					11

							1													11	3
					11		1		11									4
					11				11									4
	-1				9		1			4		=				1		9		11 4
А		=																						.
А		=		11						11						11								.
				11						11						11		5		11	1
					5		1			1								5		11	1

										11
			11							11

7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения

Пусть дана матрица A размеров m x n. Если в ходе преобразований её методом полного исключения не встретится строка (столбец), состоящая сплошь из нулей, то rang A = min(m;n). Если же k (k<min(m;n)) строк (столбцов) матрицы окажутся состоящими сплошь из нулей, то rang A = min(m;n)- k.

Пример. Найти ранг матрицы:

	0	1	3	0	2
	2	4	1	5	3
	2	4	1	5	3
A=	4	5	7 10		0

	2	1	8	5	3
	2	1	8	5	3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.7 Mб4Методическое пособие 604.pdf
#
30.04.20222.71 Mб5Методическое пособие 605.pdf
#
30.04.20222.72 Mб2Методическое пособие 606.pdf
#
30.04.20222.72 Mб2Методическое пособие 607.pdf
#
30.04.20222.72 Mб11Методическое пособие 608.pdf
#
30.04.20222.72 Mб2Методическое пособие 609.pdf
#
30.04.2022299.52 Кб3Методическое пособие 61.doc
#
30.04.2022327.68 Кб2Методическое пособие 61.pdf
#
30.04.20222.75 Mб3Методическое пособие 610.pdf
#
30.04.20222.75 Mб3Методическое пособие 611.pdf
#
30.04.20222.77 Mб15Методическое пособие 612.pdf