Методическое пособие 609
.pdfС каждой точкой M(x,y) комплексной плоскости связан ради- ус-вектор этой точки OM , длина которого
x2 y2 называется модулем комплексного числа z.
Угол φ, образованный радиус-вектором OM с положительным направлением оси абсцисс, называется аргументом ком-
плексного числа z.
Arg z arctg xy
(определён неоднозначно с точностью до 2 k, k Z ).
Если z=0 , то z 0 , но угол φ не определён. Если дополни-
тельно сделать ограничение 0 2 , то угол φ определяется однозначно и обозначается символом arg z.
Число z x iy называется комплексно-сопряжённым ком-
плексному числу z=x+iy . Заметим, что произведение
z z = 2 (действительное число) (см. задачу ниже). Множество всех комплексных чисел обозначается C.
Связь между числовыми множествами:
N Z Q R C.
Арифметические операции над комплексными числами.
Пусть даны комплексные числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2. Тогда их сумма (разность) определяется как
z1± z2 x1 x2 i y1 y2 .
Произведение определяется следующим образом:
z1 z2 x1x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 .
Действительно,
z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 i x1y2 x2 y1 i2 y1y2.
Так как i2 1, получаем искомую формулу.
11
Частное двух комплексных чисел z1 и z2 0 получим, дом-
ножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю:
|
z1 |
|
|
x1 iy1 |
|
x1 iy1 x2 iy2 |
. |
|
||||
|
z2 |
x2 iy2 |
x2 iy2 x2 iy2 |
|
||||||||
По формуле умножения комплексных чисел имеем, |
||||||||||||
x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 |
x1x2 y1 y2 |
i |
x2 y1 x1 y2 |
. |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
x2 |
y2 |
|
|
x2 |
y2 |
|
x2 |
y2 |
||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
Задача. Доказать, что сумма и произведение комплексносопряжённых чисел есть число действительное.
Формы представления комплексных чисел.
1.Алгебраическая z=x+iy.
2.Тригонометрическая z cos i sin .
Из алгебраической формы можно перейти в тригонометрическую, действуя следующим образом:
z x iy
где cos x ,
x iy |
|
x |
i |
y |
cos i sin , |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|||||
sin |
, |
|
|
x2 y2 . |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В тригонометрической форме очень удобно умножать и делить комплексные числа. Если z1=ρ1(cos φ1+isin φ1), z2=ρ2(cos φ2+isin φ2), то
z1 z2 = 1 2 (cos( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2 )),
z1 1 cos( 1 2 i sin 1 2 .
z1 2
12
3. Показательная (экспоненциальная) z ei .
Связь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями выражается с помощью формул Эйлера:
ei cos i sin , e i cos i sin
Возведение комплексного числа в натуральную степень n.
zn ei n
мула Муавра).
Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.
|
|
cos 2 k |
|
2 k , |
|
|
|
|||
n |
z |
n |
|
i sin |
k |
0, n 1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
Корень n-ой степени из не равного нулю комплексного числа имеет n различных значений, которые геометрически являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в
окружность с центром в нуле и радиусом nz .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти 3 |
i |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Заметим, что -i=0+(-1) i , то есть x 0 , a |
y 0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Модуль комплексного числа –i равен |
02 1 2 |
1; |
|||||||||||||
Вычислим аргумент: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos |
x |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
sin |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем число –i в тригонометрической форме:
z=-i= (cos +i sin )=cos |
3 |
+i sin |
3 |
z. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
По формуле извлечения корня из комплексного числа, имеем:
13
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 k |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 3 1 cos |
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
, |
k 0,1, 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый корень получаем при k=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z1= cos |
i sin |
|
=0+i 1=i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
При k=1: z |
2 |
cos |
2 |
i sin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||
cos( ) i sin( |
) cos |
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
1 |
i; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
2 |
|
Наконец, третий корень найдём при k=2.
|
|
3 |
4 |
|
|
z cos |
2 |
i sin |
|||
|
|||||
|
3 |
||||
3 |
|
|
|
cos 11 i sin 11
6 6
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
cos 2 |
|
3 |
i sin 2 |
3 |
|
||||
|
cos(2 ) i sin(2 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
i sin |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
1 i. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
2 |
|
2 |
|
Результат изображён на рис.4.1 2 ,2 76 ,3 116 .
Рис.4. Значения 3 i
14
2. Алгебра многочленов
Определение. Многочленом степени n с действительными коэффициентами ai R, i 0, n, a0 0, называется выражение вида:
n
akxn k a0xn a1xn 1 an 1x an . k 0
Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.
Число x= называется корнем многочлена Pn(x), если Pn( )=0.
Теорема. Пусть An(x) и Bm(x) – многочлены от x, n, m N, n>m. Тогда существуют такие многочлены Qn-m(x) и Rk(x),
что
An(x)= Bm(x) Qn-m(x) + Rk(x),
причём k<m. При этом под многочленом нулевой степени R0(x) понимается действительное число.
Многочлены Qn-m(x) и Rk(x), обладающие этими свойствами, называются соответственно неполным частным (или частным, если Rk(x)=0) и остатком при делении An(x) на
Bm(x).
Пример. Разделим многочлен A4(x)=2x4-3x3+2x-8 на многочлен B1(x)=x-2 уголком (см. рис. 5.)
Рис.5. Деление многочлена на многочлен уголком
15
Получили частное Q3(x)= 2x3+x2+2x+6 и остаток R0(x)=4. Таким образом, получили разложение
2x4-3x3+2x-8=(x-2)(2x3+x2+2x+6)+4.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn(x) на двучлен x- равен Pn( ).
Следствие. Число является корнем многочлена Pn(x) тогда
и только тогда, когда Pn(x) делится без остатка на x-.
Для нашего примера A4(2)=2 16-3 8+2 2-8=4=R0(x) –
остаток.
Теорема. Если многочлен с целыми коэффициентами
n |
p |
|
|
Pn(x)= ak xn k имеет рациональный корень |
, то p явля- |
||
q |
|||
k 0 |
|
||
|
|
ется делителем свободного члена an, а q является делителем коэффициента при старшем члене a0.
Определение. Если многочлен Pn(z) степени n N с действительными коэффициентами ai R, i 0, n, a0 0,
делится на (z-z0)k, k N , и не делится на (z-z0)k+1, то число k называется кратностью корня z0 многочлена Pn(z).
Теорема. Если комплексное число z0 является корнем кратности k многочлена Pn(z) с действительными коэффициента-
ми, то и сопряжённое ему число z0 также является корнем
кратности k этого многочлена.
Основная теорема алгебры. Каждый многочлен степени n N имеет в точности n корней, вообще говоря, комплексных, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Вопросы для повторения.
1.Множество, его элементы. Конечное и бесконечное множества. Примеры множеств. Пустое множество.
2.Подмножества и их свойства.
16
3.Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Упорядоченное множество.
4.Числовые множества. Построение действительных чисел.
5.Подмножества множества действительных чисел. Свойство Архимеда и следствие из него.
6.Числовые промежутки. Кванторы. Ограниченность множеств.
7.Комплексные числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Множество комплексных чисел. Связь между числовыми множествами.
8.Арифметические операции на множестве комплексных чисел. Формы представления комплексных чисел. Ком- плексно-сопряжённые числа. Формулы Эйлера и Муавра. Извлечение арифметического корня из комплексного числа.
9.Многочлен, его корни. Равенство многочленов.
10.Деление многочленов. Теорема Безу и следствие из неё. Теорема о рациональном корне многочлена с целыми коэффициентами. Кратность корня многочлена. Основная теорема алгебры.
Задачи для самостоятельного решения.
1.Множество А состоит из юношей данной группы, а В – из девушек той же группы. Найти А В, А В, А\В. Рассмотреть также случаи, когда А или В – пустые множества.
2.Пусть А={2n}, B={2n+1}. Найти А В, А В, А\В (nN).
3.Даны множества А=[2,5], B=(3,6). Найти А В, А В, А\В.
4.Пусть Q – множество рациональных чисел, а I - множество иррациональных чисел. Найти Q I, Q I, Q\I.
5.Вычислите:
17
а) (7-3i)3; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
2 5i |
|
; |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3i |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
|
1 2i 3 1 i 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
1 2i 3 1 i 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|||||||
г) |
|
|
i |
|
|
|
|
. |
|||||
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите n N: |
а) in; б) |
1 i n |
|
|
|
1 i n 2 |
|||||||||||||||
6. |
1 i n ; в) |
|
|
1 i n . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Обозначим через z |
- число, сопряжённое числу z=a+bi. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|||
|
|
z z |
|
z z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Найдите: а) |
; б) |
; в) |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Представьте в тригонометрической форме следующие
числа: 1; -1; 1+i; 1-i; 1 3i; 3 i; 2+7i; -cos +isin ; sin-icos ; tg-I, R.
9.Представьте в алгебраической форме числа z, такие, что:
а) z3=-i; б) z6=-i; в) z3=-2-2i; г) z4=-1- i 3.
18
ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1. Алгебра матриц
Определение. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются её элементами. Элементы матрицы A обозначаются как aij, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых располо-
жен данный элемент, i 1, m, j 1, n.
a11
a21
A
ai1
am1
a12 |
a1j |
a1n |
|
|
a22 |
a2 j |
a2n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
||||
ai2 |
aij |
ain |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||
am2 |
amj |
|
|
|
amn |
Часто матрицу A записывают в сокращённом виде: A aij
или (aij ) , где i 1, m, j 1, n .
Виды матриц.
Квадратная: m=n. Число n называется порядком матрицы.
a11 |
a12 |
a1,n 1 |
a1n |
|
|||
|
|
|
a2,n 1 |
|
|
||
a21 |
a22 |
a2n |
|
||||
A |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
an2 |
an,n 1 |
|
|
||
an1 |
ann |
Упорядоченная совокупность элементов a11, a22, , ann называется главной диагональю квадратной матрицы, а упорядо-
19
ченная совокупность элементов a1n, a2,n-1, , an1 – побочной диагональю. Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы A называется следом (шпуром) матрицы A:
n
trA SpA aii .
i 1
Верхняя треугольная матрица – матрица, у которой элемен-
ты aij=0 при i>j, i, j 1, n.
|
a11 |
a12 |
a1,n 1 |
a1n |
|
||
|
|
0 |
a22 |
a2,n 1 |
a2n |
|
|
A |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
ann |
Нижняя треугольная матрица – матрица, у которой элемен-
ты aij=0 при i<j, i, j 1, n.
|
a11 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
A |
a21 |
a22 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
an2 |
an3 0 |
|
|
|
an1 |
|
Диагональная матрица - матрица, элементы которой удовлетворяют условию:
|
a |
0, при i j; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ij |
|
|
|
|
i, j 1, n |
|
|||
|
|
|
0, при i j, |
|
|||||||
|
aij |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
||||
|
|
0 |
|
a22 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ann |
||||||||
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|