Методическое пособие 609

Вычисление собственных векторов матрицы.

После того, как будут найдены собственные значения i , i=1, n , матрицы А, их подставляют в систему (3) и решают её. Найденные значения xi и будут координатами собственного вектора i матрицы А, отвечающего собственному значению

i , i=1, n .

Пример. Найти собственные значения и собственные векто-

Решение. Составим характеристическое уравнение det (A- I)=0.

x1 0. Положив x1=1 , получим собственный вектор x1 =(1;-2). Аналогичную процедуру проделываем для 2=6.

81

Геометрический смысл собственных значений и собственных векторов.

Определение. Если каждому вектору x , взятому из некоторой совокупности векторов, соответствует определённый вектор y , то такая векторная функция от векторного аргу-

мента называется преобразованием.

Закон соответствия обычно записывают в виде y =А x , где А - символическое обозначение преобразования.

Вектор y =А x называют образом вектора x . Преобразование А называется линейным, если для лю-

бых векторов x , x1 , x2 и любого числа R справедливы

равенства: а) A( x1 + x2 ) = A x1 + A x2 ; б) A( x ) = A x .

Теорема. Любое линейное преобразование можно представить и притом единственным образом в матричной форме y =

А x .

Матрица А называется матрицей линейного преобразования.

82

С геометрической точки зрения собственный вектор матрицы линейного преобразования определяет прямую, проходящую через начало координат, положение которой в результате преобразования не меняется и вдоль которой плоскость ( пространство) испытывает растяжение (сжатие)

в раз, если >1 ( <1). Если <0, то, кроме растяже-

ния или сжатия, направление любого вектора, лежащего на этой прямой, меняется на противоположное: А x = x = -

x .

Пример. Зеркальное отражение.

1 0

Матрица А= определяет линейное преобразование

0 1

В прямоугольной системе координат X1OX2 это - зеркальное отражение точек плоскости относительно оси OX1.

Любой вектор, лежащий на оси OX1, является собственным вектором, отвечающим собственному значению

1=1:

83

Любой вектор, лежащий на оси OX2, является собственным вектором, отвечающим собственному значению

2=-1:

ляющееся зеркальным отражением точек плоскости относительно оси OX2.

Можно рассматривать также зеркальное отражение относительно любой прямой, проходящей через начало координат. В случае трёхмерного пространства зеркальное отражение его можно производить в любой плоскости, проходящей через начало координат. Такое преобразование также будет линейным.

9. Квадратичные формы

Числовая функция вида

где коэффициенты aij – действительные числа, такие, что aij = aji, называется квадратичной формой.

Квадратная матрица A n-го порядка, составленная из коэффициентов aij, i, j 1, n , называется матрицей квадра-

тичной формы. Она является симметрической матрицей, т.е. A = AT. Ранг этой матрицы называется рангом квадратичной формы. Если rang A = n, т.е. матрица A –невырожденная, то и квадратичная форма Q называется невырожденной.

Распишем выражение (1).

84

Q = (BY)TA(BY) = YTBTABY = YT(BTAB)Y = YTCY = =F(y1, y2, , yn), где C = BTAB.

Следствие 1. Определители матриц эквивалентных невырожденных квадратичных форм имеют одинаковые знаки. Следствие 2. Эквивалентные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

Классификация квадратичных форм.

Квадратичная форма (1) называется положительно (отрица-

тельно) определённой, если Q(x1, x2, , xn) > 0 (< 0) xi,

n

i 1, n , : xi 0 .

i 1

Квадратичная форма (1) называется положительно

(отрицательно) полуопределённой, если Q(x1, x2, , xn) 0 ( 0) xi, i 1, n .

Квадратичная форма (1) называется неопределённой, если 2 вектора x x1 , x2 , , xn и y y1 , y2 , , yn имеют квадра-

тичные формы разных знаков: Q(x1, x2, , xn) > 0 (< 0), Q(y1, y2, , yn) < 0 (> 0).

Квадратичная форма (1) имеет канонический вид, если

n

aij = 0 при i j, i, j 1, n , т.е. Q(x1, x2, , xn) = aii xi2 . Мат-

i 1

рица A квадратичной формы в этом случае имеет диагональный вид:

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

88

Если в каноническом виде aii = 1 i 1, n , то квадра-

тичная форма (1) имеет нормальный вид.

Теорема. Всякую квадратичную форму можно привести линейным невырожденным преобразованием к нормальному

общее число входящих сюда квадратов равно рангу формы.

Закон инерции квадратичных форм.

Число положительных и отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма линейным преобразованием не зависит от выбора этого преобразования.

Определение. Число i+ (i-) положительных (отрицательных) квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная квадратичная форма Q, называется положительным

(отрицательным) индексом инерции этой формы.

Разность S между положительным и отрицательным индексами инерции S = i+ - i- называется сигнатурой формы

Q.

Признак эквивалентности квадратичных форм.

Две квадратичные формы эквивалентны между собой тогда и только тогда, когда равны их ранги и сигнатуры.

Спектральный признак знакоопределённости квадратичной формы.

Для того, чтобы квадратичная форма (1) была положительно (отрицательно) определённой, необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы A квадратичной формы состоял только из положительных (отрицательных) чисел.

Определение. Миноры матрицы A квадратичной формы (1), расположенные в левом верхнем углу матрицы A

89

называются главными (угловыми) минорами матрицы A квад-

ратичной формы (1).

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма

(1) была положительно (отрицательно) определённой, необходимо и достаточно, чтобы i 0 i 1, n (чтобы знаки угловых миноров 1 , 2 , , n чередовались, причём

1 0 ).

Ортогональные матрицы.

Определение 1. Система векторов – столбцов квадратной матрицы A порядка n называется ортонормированной, если

n

или в координатной форме: akiakj ij .

k 1

Определение 2. Квадратная матрица A называется ортогональной, если её столбцы представляют собой ортонормированную систему векторов.

Свойства ортогональной матрицы.

1.Для того, чтобы квадратная матрица A была ортогональ-

ной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий: ATA = I; AAT = I; AT = A-1.

2.Определитель ортогональной матрицы равен 1.

90