Методическое пособие 609
.pdf6. A 1 1 A 1, R, 0.
Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
|
a2n |
|
Пусть A |
a21 |
a22 |
|
||
|
|
|
|
, det A 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
an2 |
|
|
|
an1 |
ann |
A 1 |
|
1 |
|
C , где матрица С имеет вид: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
A A |
T |
|
A A |
|
A |
|
||||||
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
11 |
|
21 |
|
n1 |
||
C |
A21 |
A22 |
A2n |
|
A12 |
A22 |
An2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2n |
Ann |
||
|
An1 |
An2 Ann |
|
A1n |
.
Матрица С называется союзной или присоединённой по отношению к матрице А. Элемент cij матрицы С равен алгебраическому дополнению элемента aji исходной матрицы А,
i, j 1, n.
2 |
1 |
|
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице: A |
|
. |
|
4 |
3 |
Решение. det A 6 4 2 0. Значит, A 1 . Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы:
A11=(-1)1+13=3; A12=(-1)1+24=-4;
A21=(-1)2+11=-1; A22=(-1)2+22=2.
41
|
|
|
1 |
3 |
4 |
T |
|
1 |
3 |
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
. |
||||
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
Решение матричных уравнений.
Матричным уравнением называется уравнение, в котором роль неизвестной играет некоторая матрица X. Простейшими примерами таких уравнений могут служить уравнения AX=C, XB=C, AXB=C, где X и C – прямоугольные матрицы равных размеров, A и B – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если предположить, что det A 0 и det B 0, то эти уравнения имеют единственные решения.
AX=C |
XB=C |
AXB=C |
A-1AX=A-1C XBB-1=CB-1 |
A-1AXBB-1=A-1CB-1 |
|
IX=A-1C |
XI=CB-1 |
IXI=A-1CB-1 |
X= A-1C |
X=CB-1 |
XI=A-1CB-1 |
|
|
X=A-1CB-1 |
3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы
Определение. Количество элементов вектор-строки (столбца)
называется длиной (высотой) вектор-строки (столбца).
Определение. Столбец (строка) q называется линейной ком-
бинацией столбцов (строк) p1, p2, , pm |
одинаковой высоты |
(длины), если при некоторых числах |
1, 2, , m |
m |
|
q ipi . |
|
i 1 |
|
Теорема. Если столбец (строка) a есть линейная комбинация столбцов (строк) a1, a2, , as, то он (она) является также линейной комбинацией любой системы столбцов (строк), содержащей a1, a2, , as.
42
10и 11 свойства определителя n-го порядка.
10.Если в определителе строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то он равен нулю.
11.Значение определителя не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов).
Определение. Столбцы (строки) матрицы p1, p2, , pm называются линейно зависимыми, если существуют числа 1, 2,
m
, m, не равные одновременно нулю, т.е. i 0, такие,
i 1
что линейная комбинация столбцов (строк) матрицы равна
m
нулевому столбцу (строке): ipi 0. Если линейная ком- i 1
бинация столбцов (строк) равна нулевому столбцу (строке) тогда и только тогда, когда i 0, i 1, m, то столбцы
(строки) p1, p2, , pm называются линейно независимыми.
Теорема. Для того, чтобы система из s>1 столбцов (строк) была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией остальных.
3.6. Ранг матрицы. Базисный минор
Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную,
матрицу А. Выберем какие-нибудь s номеров строк i1, i2, , is и s номеров столбцов j1, j2, , js, причём i1<i2< <is и j1<j2< <js.
Определение. Минором порядка s матрицы А называется детерминант матрицы порядка s, образованный элементами, расположенными на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число
43
|
ai |
|
j |
ai |
1 |
j |
2 |
ai |
1 |
j |
s |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|||||
Ms |
ai |
|
j |
ai |
|
j |
|
ai |
|
j |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
s . |
|
|
ai |
s |
j |
ai |
s |
j |
2 |
ai |
s |
j |
s |
|
|
1 |
|
|
|
|
Определение. В матрице А размеров m n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю или миноров порядка r+1 вообще нет, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Определение. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными стро-
ками и столбцами.
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы и обозначается rang A .
Свойства ранга матрицы и базисного минора.
1.Ранг матрицы А размеров m n не превосходит меньшего из её размеров.
2.rangA=0 тогда и только тогда, когда A .
3.Для квадратной матрицы А порядка n rangA= n тогда и только тогда, когда А – невырожденная.
4.Базисные строки (столбцы) матрицы А линейно независимы.
5.Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице каждый столбец (строка) является линейной комбинацией базисных столбцов (строк).
6.Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен мак-
симальному числу линейно независимых столбцов (строк) в этой матрице.
7.rangA rangB rang A B rangA rangB.
8.rangA rangB n rang AB min rangA, rangB ,
где n – число столбцов матрицы А или строк матрицы B.
44
9.rang(ATA)=rang A.
10.rang(AB)= rang A, если B – квадратная матрица и
det B 0.
Элементарные преобразования матриц.
1.Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2.Умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю.
3.Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4.Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5.Транспонирование матрицы.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.
Определение. Матрицы А и B называются эквивалентными (АB), если матрица B получена из матрицы А в результате элементарных преобразований.
3.7. Нахождение ранга матрицы Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы.
1.Если все aij, i 1, m, j 1, n, то rangA = 0.
2.Выбираем элемент матрицы aij 0. Помещаем его в ле-
вый верхний угол матрицы и делим первую строку матрицы на aij. С помощью элементарных преобразований обращаем все элементы первой строки в нули:
|
1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
' |
' |
' |
' |
||
a21 |
a22 |
a23 |
a2n . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в части матрицы, выделенной синим цветом, все aij 0, то rangA = 1.
45
3.Если хотя бы один элемент в области, выделенной синим цветом, отличен от нуля, алгоритм повторяем. Перестановкой строк и столбцов матрицы выбранный элемент
a'ij 0 помещаем на место второго элемента второй
строки; делим всю вторую строку матрицы на этот элемент; элементы второй строки, начиная с третьего, обращаем в нули. Получим матрицу вида:
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
. |
||||||
a'' |
a'' |
a'' |
a'' |
a'' |
|
|||
|
||||||||
|
31 |
22 |
33 |
34 |
3n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в части этой матрицы, выделенной синим цветом, a"ij 0, то rang A = 2.
4. Если хотя бы один элемент a"ij 0 в этой области, то ал-
горитм повторяем.
После r шагов получим матрицу ранга r вида:
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Определить ранг и базисный минор матрицы:
|
0 |
2 |
2 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
A |
2 |
|
4 |
. |
|
0 |
|
||
|
4 |
6 |
14 |
|
|
|
46
Решение. Выполним следующие преобразования: первую, третью и четвертую строки поделим на 2, затем поменяем местами первый и второй столбцы:
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
. |
|
0 |
|
|
0 |
|
||||
|
2 |
3 |
7 |
|
|
3 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
Из третьего столбца вычтем первый, потом из него же вычтем второй, умноженный на два:
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
0 |
||||
|
|
|||||||||||
|
3 1 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
3 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что ранг последней (а, значит, и исходной) матрицы равен 2.
Для того, чтобы определить базисный минор в исходной матрице, нам необходимо выделить базисные строки и столбцы. Для последней матрицы базисный минор выделен синим цветом. Проходя все действия в обратном порядке, определим базисный минор исходной матрицы.
Мб |
0 |
2 |
. |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
Метод окаймляющих миноров.
Определение. Минор M1 называется окаймляющим для минора М, если М получается из M1 вычёркиванием одной крайней строки (первой или последней) и одного крайнего столбца.
Теорема. Если в матрице А размеров m n имеется минор порядка r, не равный нулю, а все его окаймляющие миноры порядка r+1 равны нулю, то rang A =r.
Пример. Для предыдущего примера:
47
Вычисляем минор второго порядка: M2 |
0 |
2 |
2 0. |
|
1 |
3 |
|
Выбираем миноры третьего порядка, в которые входят строки и столбы, дающие предыдущий минор. Таких миноров всего два:
|
0 |
2 |
2 |
|
|
0 |
2 |
2 |
|
M3 |
1 |
3 |
1 |
4 12 8 0; |
M3' |
1 |
3 |
1 |
12 8 24 28 0. |
|
2 |
0 |
4 |
|
|
4 |
6 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как оба этих минора равны нулю, то ранг матрицы равен 2 (то есть порядку минора M2).
Вопросы для повторения.
1.Матрицы, их виды. Равенство матриц. Транспонирование матриц.
2.Перестановка n-ого порядка, беспорядок (инверсия) в ней.
3.Определитель n-ого порядка. Определители второго и третьего порядков, мнемонические правила.
4.Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Теорема Лапласа (теорема разложения)
иследствия из неё.
5.Свойства определителя n-ого порядка. Метод накопления нулей вычисления определителя.
6.Линейные операции над матрицами, их свойства. Скалярная матрица.
7.Возведение матриц в натуральную степень и её свойства. Многочлены от матриц. Корень матричного многочлена
ианнулирующий многочлен матрицы.
8.Вырожденность матрицы. Обратная матрица и её свойства. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений.
9.Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
48
10.Ранг матрицы, базисный минор, их свойства. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Метод окаймляющих миноров и алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти АВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
а) |
A |
4 |
1 |
3 |
|
, |
B |
1 |
0 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
6 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
A |
1 |
4 |
3 |
|
, |
B |
1 |
1 |
|
2 7 |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
4 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Даны матрицы |
|
2 |
4 |
|
5 |
0 |
1 |
|
и векторы |
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
1 |
|
3 |
6 |
2 |
|
|
X=(4 2), Y 1 . Найти: XB; AY; XY; XAY; YX.2
3. |
Найти АВ и ВА: |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||
A |
|
|
|
, B |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
5 |
|
|
|
4. |
Найти А2: |
A |
|
|
2 |
4 |
|
10 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Найти матрицу C=A+B, если |
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
A |
0 |
1 |
0 |
|
, |
|
B |
0 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти 3А, если |
A |
|
2 |
|
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Вычислите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
7 |
|
|
3 |
2 |
3 1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
а) 7 7 |
|
|
|
3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
; |
|||
|
7 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
4 |
3 3 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
1 |
2 0 7 3 |
3 2 3 1 |
|
|
1 1 1 1 |
|
1 |
|
|||||
б) |
10 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 3 3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7 |
0 2 1 |
|
|
|
1 1 1 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Найти АВ и ВА: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) A |
0 |
|
, B 0 0 |
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A |
2 |
, |
B 1 0 |
|
2 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) A |
2 |
, B 2 1 |
3 1 ; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
, B 1 2 2 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|