Методическое пособие 389

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Воронежский архитектурно-строительный университет

В.С. Муштенко

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА

1 ЧАСТЬ

Курс лекций по математике

Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

для студентов, обучающихся по специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии (строительство)»

Воронеж 2009

УДК 51.07 ББК 22.161 М34

Рецензенты:

кафедра функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета;

Ю. С. Сербулов – д. т. н., зав. кафедрой информационных систем и технологий Воронежского института высоких технологий

Муштенко, В. С.

М34 Основы алгебры и анализа : курс лекций по математике / В.С. Муштенко; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. – Воронеж, 2009.–154 с. – (Учебное пособие : в 2 ч. / В.С. Муштенко; ч. 1).

ISBN 978-5-89040-250-9

В курсе лекций приводится геометрический и экономический смысл математических понятий, математические формулировки ряда экономических законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения математики в экономике (балансовые модели, эластичность функции, производные функции, некоторые модели экономической динамики).

Основной набор примеров и задач дается в конце каждой главы в виде упражнений, которые необходимо решать на практических занятиях под руководством преподавателя или самостоятельно, при выполнении домашнего задания. В некотором смысле, материал приложений может играть роль задачника.

Предназначен для студентов, обучающихся по специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии (строительство)».

Ил. 38. Табл. 4. Библиогр.: 10 назв.

УДК 51.07 ББК 22.161

2

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебное пособие содержит материал по математике для студентов первого курса экономических специальностей.

Этот курс написан на основе лекций, которые автор читал в течение многих лет студентам на специальностях экономического профиля ВГАСУ как дневной, так и заочной форм обучения.

Настоящий курс лекций окажет несомненную помощь при самостоятельном изучении курса математики и подготовке к экзаменационной сессии. Также предлагаемое пособие может быть хорошим подспорьем для преподавателей, начинающих читать курс математики студентам указанных специальностей.

Везде, где это возможно, даются геометрический и экономический смысл математических понятий, приводятся математические формулировки ряда экономических законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения математики в экономике (балансовые модели, эластичность функции, производные функции, некоторые модели экономической динамики).

При рассмотрении различных теорем автор старался придерживаться строгих логических доказательств, иногда опуская простейшие алгебраические преобразования. Некоторые теоремы приводятся без доказательства. Читатель может легко с ними справиться самостоятельно.

В связи с тем, что согласно программе на практические занятия часов отводится больше, чем лекционных, автор приводит только примеры, необходимые для лучшего усвоения теоретического материала. Основной набор примеров и задач дается в виде упражнений в конце каждой главы, которые необходимо решать на практических занятиях под руководством преподавателя или самостоятельно при выполнении домашнего задания. В некотором смысле, материал приложений может играть роль задачника.

Материал изложен достаточно полно, по существу, ясно и без лишних отступлений.

Удачи на экзамене!

3

Тема № 1.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ ВЕКТОРНОЙ ИАНАЛИТИЧЕСКОЙГЕОМЕТРИИ

Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Матрицы. Действия над ними

1.1. Определения и основные виды матриц

Определение. Матрицей называется система m n чисел, расположенных в прямоугольной таблице, состоящей из m строк и n столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами.

Матрицы обозначаются заглавными буквами русского алфавита, напри-

Матрица (1.1) называется прямоугольной матрицей размерности m n (или размера m на n ). Если m n , томатрицаназываетсяквадратнойпорядка n .

Замечание. Элементами матрицы могут быть и другие объекты, например, функции, векторы и.т.д.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:

A(a11a12 ...a1n ) .

Аматрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-

столбцом:

a11 B a21 .

a...

n1

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нуль – матрицей:

4

Строки и столбцы матрицы называют рядами.

В квадратных матрицах порядка n различают ещё диагонали – главную (a11a22 ...ann ) и побочную (an1,an 1,2 ,...,a1n ) .

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой, кроме элементов главной диагонали, равны нулю:

Диагональная матрица, элементы главной диагонали которой, равны единице, называется единичной. Обозначается буквой Е:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, причем

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной матрицей. Обозначается AT .

5

Заметим, что если A – матрица размерности m n , то AT имеет размерность n m . Для операции транспонирования выполняются свойства:

Две прямоугольные матрицы одинаковой размерности равны A B , если равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть aij bij .

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, табл. 1 распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.) может быть записана в виде матрицы

В этой записи, например, матричный элемент а11 5,3 показывает,

сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент а22 2,1 – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское

хозяйство.

1.2. Действия над матрицами

Прямоугольные матрицы одинаковой размерности можно складывать и умножать на число.

Суммой матриц А(aij ) и B(bij ) называется матрица С ( cij ) =А aij +B(bij )

6

Чтобы умножить матрицу на число, надо умножить на это число все элементы данной матрицы:

Матрица ( A) ( 1)A называется противоположной матрице А. Тогда A B A ( B) , т.е., чтобы вычесть матрицы, достаточно вычесть соответст-

вующие элементы, стоящие на одинаковых местах.

Легко проверить (что предоставляется читателю) следующие свойства сложения матриц:

1)коммутативный (переместительный) закон: A B B A ;

2)ассоциативный (сочетательный) закон: ( A B) C A (B C) ;

3)дистрибутивный (распределительный) относительно числовых

множителей: (m n) A mA nA и m(A B) mA mB. ;

4) существует нулевая матрица 0, такая, что A 0 A , и для любой матрицы A существует противоположная, такая, что A ( A) 0 .

Возникает естественный вопрос, можно ли умножать матрицу на матрицу? Действие умножение матриц определяется более сложным образом.

Введем сначала понятие согласованных матриц.

Определение. Две прямоугольные матрицы называются согласованными,

если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Матрицы A и B , B и A согласованы, матрицы A и С не согласованы. Квадратные матрицы одинаковых порядков всегда согласованы. Определение. Произведением двух согласованных матриц является та-

кая третья матрица C , у которой элемент, стоящий на пересечении i ой строки и j го столбца равен сумме парных произведений элементов i ой строки первой

матрицынасоответственныеэлементы j гостолбцавторойматрицы.

7

В результате умножения получается матрица, у которой столько строк, сколько их в первой матрице, и столько столбцов, сколько их во второй матрице. Легко проверить, что произведение матриц не подчиняется коммутативному закону, т.е. АВ ВА. Также предлагаем читателю проверить свойства произведения матриц:

1.А(ВС) (АВ)С.

2.m(AB) (mA)B.

3.m(A B) mA mB.

4.A(B C) AB AC.

5.(A B)C AC BC (все матрицы должны быть согласованными).

1.3. Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц называют следующие пре-

образования:

1)перемена местами параллельных рядов матрицы;

2)умножение всех элементов ряда на одно и то же число;

3)прибавление ко всем элементам ряда соответствующих элементов параллельного ему ряда, умноженных на одно и то же число;

4)транспонирование матрицы;

5)отбрасывание нулевого ряда.

Матрицы А и В, полученные одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными и записывается А~ B.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

Пример. Привести к каноническому виду матрицу

8

Матрицу (2) получили, поменяв местами 1 и 3 столбцы матрицы (1); сложив первые две строки матрицы (1) ,получили вторую строку матрицы (3), а умножив первую строку (2) на (–5) и сложив с ее третьей, получили третью строку матрицы (3); умножив первый столбец матрицы (3) на (–3), затем на (–2) и сложив последовательно с её вторым, третьим и четвёртым столбцами, получили матрицу (4); поделив второй столбец матрицы (4) на (– 5), третий на (–2), четвертый на (–3), получили матрицу (5); умножив вторую строку (5) на 3 и сложив с третьей, получили матрицу (6); вычитая из второго столбца(6) еечетвертыйипятыйстолбцы, получиликаноническуюматрицу(7).

§ 2. Определители и их свойства

2.1. Определители второго порядка

Будем рассматривать квадратные матрицы различных порядков:

определителем первого порядка называется её элемент a11 .

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка А2 2 , называется число, равное ( a11 a22 a12 a21 ) и

обозначаемое символом

Таким образом, определитель второго порядка есть число, равное разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Рассмотрим свойства определителей второго порядка.

1. Свойство. Определитель не изменится, если все его строки поменять местами с соответствующими столбцами:

9

2. Свойство. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный:

3.Свойство. Определительравеннулю, есливсеегоэлементыравнынулю.

4.Свойство. Определитель равен нулю, если элементы его параллельных рядов равны или пропорциональны.

5.Свойство. Общий множитель всех элементов любого ряда можно выносить за знак определителя:

6. Свойство. Определитель не изменится, если к элементам любого его ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ему ряда, умноженные на одно и то же число:

Все приведённые свойства определителя второго порядка доказываются простой проверкой, основанной на правиле вычисления определителей по формуле (1.2).

Докажем, например, свойство (6).

Доказательство.

a11a22 ma12a22 a21a12 ma22a12 a11a22 a21a12

2.2. Определители третьего порядка

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А3 3 называется число, вычисляемое следующим способом.

10