Методическое пособие 389

Глава 6. ФУНКЦИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

§ 1. Понятие множества. Действия над множествами

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) однородных объектов, предметов, которые называются элементами множества. Например, множество студентов в вузе, множество дисциплин, которые изучает студент, множество натуральных чисел и т.д.

Множества обозначают заглавными буквами: A, B.C,... , а элементы − прописными: a,b, c,...

Если a является элементом множества А, то применяют символ a A (принадлежит) или a A (не принадлежит). Множество, не имею-

щее ни одного элемента, называется пустым . Например, множество дей-

ствительных корней уравнения x2 1 0 пустое, x .

Если B есть часть множества A ( B – подмножество множества A ), то обозначают: B A или A B и A B , если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением множеств A и B называется множество C , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B :

C A B .

Пересечением C A B называется множество C , состоящее из общих элементов этих множеств.

Разность множеств C A B состоит из элементов множества A , которые не принадлежат множеству B . Дополнение к множеству C A B со-

стоит из элементов множества B , не принадлежащих множеству A .

Множества, элементами которых являются действительные числа, на-

зываются числовыми.

N – множество натуральных чисел, Z – целых чисел, Q − рациональ-

ных, J − иррациональных, R − множество действительных чисел. Очевидно: N Z R , J R .

Пример. A (2,3,5,8,11), B( 3,4,8,9).

A B (2,3,4,5,8,11) , A B (3,8), A B =(2,5,11), A B = (4,9).

Между множеством действительных чисел и множеством точек число-

вой оси существует взаимно однозначное соответствие, то есть каждому числу соответствует точка на числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси соответствует действительное число.

Множество x X , которое удовлетворяет неравенству

a x b называется отрезком и символически обозначается [a,b] , a x b − интервал, обозначается (a,b),

a b b , a x b -: [ a,b ) , ( a,b ],

91

( x ) , ( x a) , (a x )− бесконечный и полубесконечные интервалы: ( , ) , ( , a) , (a, ) .

Все эти термины объединяются одним – промежуток.

1.1. Абсолютная величина. Окрестность точки

Абсолютной величиной действительного числа x называется:

a x .

Интервал x a называется − окрестностью.

§ 2. Понятие и определение функции

В своей практической деятельности, а также при решении многих технических задач человек сталкивается с различными величинами.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Если величина принимает одно и тоже значение, она называется постоянной. Если величина сохраняет постоянные значения только в рассматриваемом процессе, то она называется параметром.

Например, при равномерном движении S vt , S и t переменные вели-

чины, v − параметр. В формуле S R 2 , S и R − величины переменные, а величина − постоянная.

При рассмотрении двух переменных величин часто оказывается, что численные значения одной из них зависят от численных значений другой. Например, площадь квадрата зависит от длины его стороны.

Если через x обозначить длину стороны квадрата, а через y − его пло-

щадь, то эта зависимость выражается формулой y f (x) , т.е. y x2.

Определение. Если каждому элементу x множества X по какомулибо правилу или закону ставится в соответствие вполне определённый элемент y

множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y f (x) .

92

x является независимой переменной и называется аргументом, y − за-

висимая переменная называется функцией.

f − означает правило, способ, закон соответствия.

Множество X значений, при которых функция существует, то есть принимает действительные конечные значения, называется областью определения функции, множество Y называется областью значений функции.

Пример. Найти область определения функции y x2 5x 6.

Функция определена, если x2 5x 6 0, то есть при x 2 и x 3. Таким образом , x ( ,2] [3, ) .

2.1. Способы задания функции

Аналитический способ – функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например, y x2 2x 4x

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным и эффективным способом, так как к нему применимы методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

Табличный способ. Функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.

Например, известные школьные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы и другие.

Графический способ. Графиком функции называется множество точек (x0y) , координаты которых связаны соотношением y f (x) . Само

y f (x) называется уравнением этого графика (рис. 6.1).

y

y f (x)

y M (x, y)

0

Рис. 6.1

93

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. В медицине, например, работа сердца анализируется с помощью кардиографа.

Преимуществом графического способа задания функции и по сравнению с аналитическим, и с табличным является его наглядность.

Словесный (описательный) способ. Функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:

1, если х рациональное,

f(x) 0, если х иррациональное.

2.2.Виды функций

1. Функции явные и неявные

Функция вида y f (x) , представляющая выражение, разрешённое относительно y называется явной функцией.

Например, y x3 3x sin x .

Функция, заданная в виде уравнения с двумя переменными называется неявной функцией, например:

4y3 3sin x2 5 0.

Функцию, заданнуювявномвиде, всегдаможнопредставитьвнеявномвиде:

y log 2x x 7, y log 2x x 7 0 .

Обратно значительно труднее, а иногда просто невозможно.

2. Обратные функции

Пусть на множестве X (область определена функции) задана функция y f (x) со множеством значений Y .

Поставим в соответствие каждому y из множества Y одно единственное

возможно).

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы первого − третьего координатных углов.

94

3. Параметрически заданные функции

Пусть переменная t задана на интервале t [a,b], t −называется параметром, а переменные x и y являются функциями этого параметра

вается параметрическим.

Из первого уравнения можно выразить t как функцию x , t 1(x) и подставить во второе уравнение. Получим явную функцию

y [ 1 (x)] (см. прил.).

Пример. Рассмотрим уравнение окружности x2 y2 R2 − неявное уравнение окружности,

y R2 x2 − явная функция.

Выберемвкачествепараметра t угол, образованныйрадиусом r сосью 0x .

Пусть задана функция y f (u) , где переменная u в свою очередь является функцией другой переменной x , u = (x) . Тогда y тоже является функцией переменной x : y f [ (x)].

В этом случае говорят, что задана сложная функция или суперпозиция двух функций. Сложная функция может быть задана и суперпозицией большего числа простых функций, то есть цепочкой нескольких функций:

y f (u) , u = (v) , v (t) , t (s),

получаем сложную функцию: y f { [ ( (s)]}.

С другой стороны, сложную функцию всегда можно представить в виде цепочки простых функций.

95

Например, функцию y lgsin 3x можно разбить на цепочку следующих простых функций : w 3x , v w , u sin v , y lgu.

2.3.Элементы поведения функции

1.Нули и точки разрыва функции

Нулём (корнем) функции y f (x) называется такое значение аргумента x x0 , при котором функция обращается в нуль, т.е. f (x0 ) 0.

Геометрически нули – это точки пересечения графика функции с осью 0x . Точки, в которых функция не существует или обращается в бесконеч-

ность, называются точками разрыва.

Пример. y tgx .

x = n , n=0,1,2,… − нули функции, x n 2 , n=1,2,3,.. – точки разрыва.

2. Интервалы знакопостоянства функции

Интервалы, в которых функция сохраняет знак, т.е. принимает только положительные значения или только отрицательные, называются интерва-

лами знакопостоянства.

Геометрически, интервалы знакопостоянства − это интервалы, где график функции расположен над или под осью 0x .

Границами интервалов знакопостоянства являются нули и точки разрыва функции.

Чтобы определить знак функции в интервале знакопостоянства, достаточно определить её знак в любой точке этого интервала.

Пример. Найти интервалы знакопостоянства функции y lg x.

Решение.

Область определения является интервал: (0, ), x =0 – точка разрыва, x =1 − нуль функции. Удобно строить таблицу (табл. 3).

Винтервале (0,1) функция отрицательная;

Винтервале (1, ) − положительная.

3. Чётность и нечётность функции

Если при изменении знака аргумента, знак функции не меняется, то функция называется чётной, если меняется, то нечётной − это означает выполнение равенств:

96

если f ( x) f (x) − чётная, если f ( x) f (x) − нечётная.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, нечётной − относительно начала координат.

4. Периодичность функции

Функция называется периодической, если существует такое число T > 0, что выполняется равенство f (x T ) f (x) . Число T называется периодом

функции.

Периодическими функциями являются тригонометрические функции, причём sin x и cos x имеют период T = 2 , а функции tg x и ctg x − период

T .

5. Монотонность функций

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть, если

Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами − при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа образования сложных функций, называются элементарными.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

97

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К алгебраическим функциям относятся:

▪целая рациональная функция (многочлен);

▪дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

▪иррациональная функция (если входит операция извлечение корня); Неалгебраические функции называются трансцендентными. К таким

функциям относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

§ 3. Применение функций в экономике

Вэкономике, наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие как дробно – рациональные, степенные (квадратные, кубические и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие.

Периодичность, колеблемость экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Вэкономике наиболее часто используются следующие функции:

1.Функция полезности (функция предпочтений) – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2.Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3.Функция выпуска – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4.Функция издержек – зависимость издержек производства от объема продукции (функции выпуска и издержек являются частным видом производственной функции).

5.Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары от различных факторов (например, цены, дохода и т.д.).

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов на зависимую переменную, и, в частности, аддитивные функции, представляющие одну зависимую переменную как при суммарном воздействии нескольких факторов.

Если действием побочных факторов можно пренебречь, то влияние одного фактора изучается с помощью функции одной переменной.

Например, при исследовании зависимости спроса на различные товары от дохода используют линейные функции (функции Л.Торнквиста):

98

при помощи которых мы можем установить уровни доходов a1, a2 , a3 , при которых начинается приобретение тех или иных товаров и

уровни насыщения b1,b2 для групп товаров первой и второй необходимости.

УПРАЖНЕНИЯ

Глава 7. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

§ 1. Числовая последовательность и ее предел

Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента, т.е. аргумент функции (n) принимает значения на-

туральных чисел: 1,2,3,..., n,...

99

2.xn 1n ; xn {1, 12 , 13 ,... 1n ,...}.

3.xn 1 n n n 1; xn { 2, 32 , 43 , 54 ,...}.

4.xn n2 ; xn {1,4,9,16,....n2 ,...}.

Изобразим значения этих последовательностей на числовой оси:

Очевидно, что значения xn в примерах (1−3) с ростом n стремятся к раз-

личным значениям (пределам), которые обозначаются lim xn a .

n

При этом абсолютная величина разности xn a становятся все меньше и

меньше, т.е. с ростом n становится меньше любого, сколь угодно малого положительного числа, которое обычно обозначают .

Действительно, для первой последовательности имеем

x1 1 12 , x2 1 13 , x3 1 14 ,..., xn 1 1n ,...

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности xn , если для любого, сколь угодно малого положительного числа >0,

найдется такой номер N = N( ), что для всех членов последовательности с

100