Методическое пособие 389

мится к пределу a . Если предел функции в точке x a существует, то существуют и односторонние пределы, т.е. еcли существует

x a , если односторонние пределы существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке:

Если в двойном равенстве (7.10) хотя бы одно равенство нарушается, то функция называется разрывной (терпит разрыв) в точке x a .

При этом:

1) если односторонние пределы конечны, но не равны между собой,

то это будет разрыв первого рода, а разность

называется скачком функции; 2) если односторонние пределы равны, но не равны значению функции

в точке, то разрыв первого рода называется устранимым,

В этом случае достаточно взять f (x) f (a) равным односторонним

пределам, чтобы функция стала непрерывной в данной точке; 3) если один из односторонних пределов равен бесконечности, то разрыв

называется разрывом второго рода.

Пример 1.

3 x2 , x 0 f (x) =

1 x , x 0

Разрыв первого рода со скачком K = −2.

Пример 2.

1

y 21 x в точке x =1.

Пусть х 1 , т.е. х 1, тогда (1 х) 0,

111

приращение y , равное разности приращенного и исходного значений

функции: y f (x0 x) f (x0 ) .

Определение 2. Функция y f (x) называется непрерывной в точке

x a , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

lim y 0 .

x 0

Оба определения непрерывности равносильны.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1.Сумма, разность и произведение непрерывных функций в точке есть функция, непрерывная в этой точке.

2.Отношение двух непрерывных функций есть функция непрерывная в точке, если знаменатель не равен нулю в этой точке.

3.Если функция y f (u) непрерывная в точке u0 , а функция u (x) непре-

рывная в точке u0 (x0 ) , то сложная функция y f [ (x)] непрерывна в точке x0 .

5.2. Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке отрезка а, b , на-

зывается непрерывной на этом отрезке.

Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций непрерывных на отрезке приведем в виде следующих теорем (без строгого доказательства).

1. Первая теорема Больцоно-Коши. Если функция y f (x) непрерыв-

на на отрезке [ a,b ] , а на концах его принимает значения f (a) и f (b) разных знаков, т.е. f (a) f (b) )<0 , то на этом отрезке найдётся, по крайней мере, одна такая точка x c , в которой функция обращается в ноль f (c) 0 .

112

Утверждение этой теоремы следует из геометрического представления непрерывной функции, как некоторой непрерывной (без разрыва) линии или нити, которая при переходе через некоторую прямую (ось ох) с одной стороны на другую, обязательно ее перечет (по крайней мере в одной точке). На рис. 7.4 f (c1 ) f (c2 ) f (c3 ) 0 .

y

f (a) 0

y f (x)

Рис 7.4 f (b) 0

2. Вторая теорема Больцано–Коши. Если функция y f (x) непрерыв-

на на отрезке [ a,b ], а на концах этого отрезка принимает неравные значения f (a) A f (b) B , то она принимает на этом отрезке любое значение, за-

ключенное между A и B .

3. Теорема Вейерштрасса. Если функция y f (x) непрерывна на отрезке [ a,b ], то она достигает на нём своего наименьшего m и наибольшего

значения M .

Доказательство следует из геометрического представления непрерывной на отрезке функции как ограниченной конечной линии. Кроме того, непрерывная функция во всех точках отрезка принимает конечные пределы, а среди конечных значений всегда можно выбрать наименьшее и наибольшее.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Изобразите на оси следующие последовательности, заданные общими

113

3. Исследовать на непрерывность данные функции и построит их графики.

114

4. Исследовать на непрерывность данные функции в указанных точках.

ТЕМА №3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Производная – одно из важнейших понятий современной математики. С помощью производной можно характеризовать скорость изменения функции, скорость протекания некоторых процессов (физического, механического, химического и. т.п.) или явлений.

С введением производной появилась возможность решать задачи не доступные методам элементарной математики.

Глава 8. ПРОИЗВОДНАЯ

§ 1. Задачи, приводящиеся к понятию производной

К понятию производной приводят многие задачи геометрии, физики, химии, экономии и других наук. Рассмотрим некоторые из них.

1. Задача о касательной к данной кривой. Эта задача заключается в следующем: написать уравнение касательной к кривой линии y f (x) в точ-

ке М ( x0 , y0 ) .

Определение. Касательной к линии в точке M называется предель-

ное положение MT секущей MN , когда точка N , двигаясь вдоль данной кривой, стремится к M . Очевидно, что при этом угол стремится к нулю

(рис. 8.1).

M

Рис. 8.1

115

Пусть М0 (x0, y0 ) фиксированная точка графика функции y f (x) и

M ( x, y ) –любая его точка, где x x0 x, y f (x0 x) (рис. 8.2).

yf (x)

M

y

где угол, образуемый секущей M 0 M c осью 0x .

Таким образом, задача о касательной приводит к необходимости вычисления предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

2. Задача о скорости движения. Пусть материальная точка M движется вдоль некоторой прямой по закону S S(t) , где S − путь, пройденный точ-

кой за время t и необходимо найти скорость точки в момент t0 .

К моменту времени t0 движущаяся точка занимает положение М0 и пройденный путь равен ОМ0 = S(t0 ) . В момент времени (t0 t ) материальная

точка займёт положение М и за время t она пройдёт путь

M 0 M = S S(t0 t) S(t0 ) .

Средняя скорость движения V ср за промежуток времени t определяется отношением пройденного пути ко времени V ср = st . Средняя скорость ха-

116

рактеризует движение тем точнее, чем меньше t . Поэтому за скорость точки в момент t0 принимается предел V ср , когда t 0 , т.е.

жает количество произведенной продукции u за время t и необходимо найти производительность труда в момент t0 .

За период времени от t0 до t0 t количество произведенной продукции составит u u(t0 t) u (t0 ) ; тогда средняя производительность труда

за этот период времени будет zcð ut . Очевидно, что производительность труда в момент времени t0 можно определить как предельное значение сред-

Рассматривая три различные по характеру задачи, мы пришли к пределам (8.1)−(8.3) одного вида: пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Этот предел играет чрезвычайно важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

1.1. Понятие и определение производной

Отвлечемся от конкретного смысла задачи и проведем рассуждения для произвольной функции y f (x) , заданной в промежутке ( a,b ) по следую-

щей схеме (8.4):

1) возьмем произвольное значение аргумента x (a,b) , дадим ему при-

ращение x , получим приращенное значение аргумента ( x + x ) и вычислим приращенное значение функции f (x x) ,

2)найдем приращение функции y f (x x) f (x) ,

3)составим отношение

4) найдём предел этого отношения, когда x 0 , т.е.

lim y .

x 0 x

117

Определение. Производной функцией y f (x) в точке x называется

предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

x 0

Производную обозначают символами: y , yx , f (x), dfdx, , dydx (смысл по-

следних двух символов выясним позднее).

Операциянахожденияпроизводнойфункцииназываетсядифференцированием. Функция, имеющая конечную производную в точке x0 , называется диф-

ференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка называется

дифференцируемой в этом промежутке.

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Из формулы (8.1) следует, что f (x) tg k .

Эта формула выражает геометрический смысл производной: производ-

ная f (x0 ) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику функции в точке x0 .

Так как tg k , то уравнение касательной к линии y f (x) в точке x0 принимает вид

Нормалью к кривой в точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f (x0 ) 0, то уравнение нормали будет

Из задачи о скорости движения следует физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного неравномерного движения в момент времени t0 : V (t0 ) S (t0 ) .

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени u (t0 ) есть производительность труда

вмомент t0 .

1.2.Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью

Теорема. Если функция y f (x) дифференцируема в точке x , то она в этой точке непрерывна.

118

Согласно определению непрерывности функция является непрерывной в точке. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. если функция непрерывна в точке, то она необязательно дифференцируема в этой точке.

1.3. Производные некоторых элементарных функций

Нахождение производных будем проводить по рассмотренной ранее схеме (8.4).

1. y = C , ( y) 0.

1)возьмем произвольное значение аргумента x , дадим ему приращениеx , получим приращенное значение ( x + x ), вычислим приращение функции.

2)y f (x x) f (x) C C 0 .

3)y 0 0.

x x

Такимобразом, производнаяпостояннойфункции(константы), равнанулю.

2. y sin x , ( y) cos x.

1)дадим аргументу x приращение x , тогда

2)y f (x x) f (x) sin(x x) sin x 2sin 2x cos(x 2x);

3)y 2sin 2x cos(x 2x) sin 2x cos(x x) ;

x x x 2

119

Вывод производных следующих функций дается в приложении к главе.

Из этой формулы можно получить частные случаи производной степенных функций:

В частности, при a e , так как loge e ln e 1, получим

(ln x) 1x .

1.4. Основные правила дифференцирования

Пусть даны дифференцируемые функции u(x) и v(x) .

1. Производная алгебраической суммы двух функций равна алгебраической сумме производных этих функций,

Формула(8.8) легкообобщаетсянаслучайлюбогоконечногочисласлагаемых: (u v w) u v w .

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй, т.е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

(uvw) u vw uv w uvw .

120