Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 389

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

3. Определим четность, нечетность, периодичность функции.

	y( x)				x			y(x) ,			функция нечетная, ее график будет сим-
	y( x)			( x)2		1		y(x) ,			функция нечетная, ее график будет сим-
			3	( x)2		1
метричным относительно начала координат. Функция непериодическая.
	4. Исследуем функцию на экстремум.												x2 3
	Найдём ее первую производную: y												x2 3			.
	Найдём ее первую производную: y												(x2 1)4			.
											3		(x2 1)4
y 0, x2			3 0, x1,2					3 .

		( , )			3	(				1		(1,1)		1	(1, 3)		3	( 3,	)
x					3	(		3, 1)		1					(1, 3)		3	( 3,	)
x
y		+		0			_					+			_		0	+
				0													0	+

y				max					_					_			in
				max					_								in
	y(		3) 1,7,				A( 1,7; 1,4) max.
	y(		3) 1,7			B(1,7;1,4) min.

5. Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и точки перегиба.

Вторая производная будет иметь вид:

;

3 (x2 1)2 3 (x2

y 0 при x 0 , следовательно, это критическая точка.

Строим таблицу.

( , 1)

( 1,0)

(0,1)

(1, )

.п

y(0) 0 – точка перегиба.

151

6. Строим график функции

y		1
	3	x 2 1 .

-1,7

-1

1,7

…………. Рис. 10.9

УПРАЖНЕНИЯ

1. Используя правило Лопиталя, найти следующие пределы:

1.	lim	sin5x	.

	x 0 sin10x

5.lim ln x .

2. lim coscos3xx .

6.lim x2 .

xex

3.	lim	1 cos x .	4.	lim	ln x	.

	x 0	x2		x 1 x 1
7.	lim	sin 3x .	8.	lim	tgx 1.
	x	tg5x			sin 4x
				x 4

152

9. lim		3x3	5x 7			.
9. lim		4x3	2x2 x			.
		4x3	2x2 x
		x
		1		1
12.	lim				.
12.	lim			ex 1	.
	x 0 x			ex 1

10.	lim	2x5	4x2 x		.
		6x3	3x
	x
		1	x
13.	lim			.
			x 1
	x 1 ln x

11.	lim		2x		4			.
				x 2
	x 3x3
		sin x			1
14.	lim					2	.
			x	x
	x
	2

Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) y x2 4x .

б)

y 2 x3 2x 1.

в) y x4 2x2 5.

Исследовать на экстремум следующие функции:

а) y 2x2 8

б) y 2x x2

в) y x 9x2 15x 3

г)

y 3 (x2

6x 5)2 ,

д)

y x ln(1 x) .

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а)

y x4

8x2

3 на отрезке [ 2;2],

б)

y x 33

x на отрезке [ 1;1],

в)

на отрезке [

1 ; 1

]

x2 1

2 2

Найти асимптоты графиков функций:

а)

3 4x

б) y

1 x

в) y

2x3 ln x

1 x

6. Найтиточкиперегибаиинтервалывогнутостиивыпуклостифункций:

а)

y x5.

б) y 3 x 1.

в) y x3

15x2 x 250.

Исследуйте функции и постройте их графики:

а) y 2x3 12x2 18x ,

б) y

г) y

в)

x2 16

ln x

3 x2

Найти число, которое в сумме со своим квадратом дает наименьшее

значение.

9. Расход à на рекламу влияет на валовой доход R(a)

по полученно-

му эмпирическому закону R(a) R(1 3 a) , где

R доход в отсутствие рек-

ламы. При каких значениях R оптимальные расходы на рекламу могут превысить весь доход в отсутствие рекламы?

153

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Символика обозначений

N множество натуральных чисел; Z множество целых чисел;

Q множество рациональных чисел;

R множество действительных чисел;a,b,c,... элементы множества;

Ø – пустое множество;

[a,b] замкнутый промежуток (отрезок) с началом a и концом b , причем a и

b принадлежат промежутку;

(a,b) интервал с началом a и b , причем a ,b не принадлежат промежутку;

(a,b] , [a,b) полуоткрытые интервалы, где в первом конец a , а во втором –

конец b не принадлежит интервалу; ( , ) бесконечный интервал;

[a, ) , (a, ),( , a],( , a) полубесконечные интервалы, где конец a , стоящий

уквадратной скобки, принадлежит интервалу;

следует;

, равносильность;

, ( ) принадлежит (не принадлежит);

включение множества в другое;объединение множеств:

пересечение множеств;любой, всякий;существует;угол;

перпендикуляр; a, (AB) вектор a, ( AB) ;

a , AB модуль вектора;

f (x) функция;
D( f ) область определения функции;
E( f ) множество значений функции;
x, ( y) приращение аргумента (функции);
limx x f (x) A- число A является пределом		f (x) функции в точке x0 ;
	0
f (x) производная функции;
		f (x) ;
dy df (x) f (x)dx - дифференциал функции

n	сумма элементов от 1 до n ;
k 1
	f (x)dx неопределённый интеграл от функции f (x) ;
b	f (x)dx определённый интеграл от функции f (x) на отрезке [a,b] .

154

2. Греческий алфавит

прописные

строчные

названия

альфа

бетта

гамма

дельта

эпсилон

дзета

эта

тэта

йота

каппа

ламбда

мю

ню

кси

омикрон

пи

ро

сигма

тау

фи

хи

ипсилон

пси

омега

3. Свойства натуральных логарифмов

1.ln1 0,

гдеln a loge a , e limn (1

)

e 2,7182828459045...., илиe 2,72.

2.ln e 1,

3.ln(ab) ln a ln b,

4.ln a ln a ln b,

5.ln ak k ln a,

6. ln n ak

ln a,

loga N

logb N

– формула перехода

от одного основания

к друго-

logb a

му. lg N

ln N

0,43ln, ln N

lg N

2,3lg x формулы переходы от

десятичных

ln10

lg e

логарифмов к натуральным и наоборот.

155

Библиографический список

1.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 3 т.

Т. 1-2. / Н.С. Пискунов – М. : Наука, 1968. – 748 с.

2.Шнейдер, В.Е. Краткий курс высшей математики. / В.Е. Шнейдер,

Ф.И. Слуцкий, А.И. Шумов – М. : Высшая школа, 1972. – 473 с.

3.Кудрявцев, В.А.Краткий курс высшей математики. / В.А. Кудрявцев – М.: Наука, 1989. – 655 с.

4.Щипачёв, В.С. Высшаяматематика: учебникдлявтузов. / В.С. Щипачёв– М. : Высшая школа, 1996. – 231 с.

5.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. /

Д.Т. Письменный – М. : Айри-пресс, 2004. – 608 с.

6.Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа. / А.Ф. Бермант – М. : Наука, 1967, – 383 с.

7.Берман, Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа. /

Г.И. Берман – М.: Наука , 1964. – 386 с.

8.Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математичекому анализу. / Г.И. Запорожец – М. : Наука, 1964, – 684 с.

9.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов. В 2 ч. Ч. 2. / П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я Кожевникова – М.:

ООО Издат. дом «ОНИКС», 2003. – 416 с.

10.Апатенок, Р.Ф. Элементы линейной алгебры. / Р.Ф. Апатенок – Минск: «Вышэйш. школа», 1977. – 256 с.

156

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................................................................	3
ТЕМА №1. Линейная алгебра с элементами векторной
и аналитической геометрии......................................................................	4
Глава 1. Матрицы и определители..........................................................	4
§ 1. Матрицы. Действия над ними...............................................................	4
1.1. Определения и основные виды матриц...............................................	5
1.2. Действия над матрицами.......................................................................	6
1.3. Элементарные преобразования матриц...............................................	8
§ 2. Определители и их свойства.................................................................	9
2.1. Определители второго порядка............................................................	9
2.2. Определители третьего порядка...........................................................	10
2.3. Определители n го порядка................................................................	13
§ 3. Обратная матрица..................................................................................	15
3.1. Построение обратной матрицы способом элементарных
преобразований................................................................................................	19
§ 4. Ранг матрицы..........................................................................................	20
Глава 2. Системы линейных уравнений................................................	23
§ 1. Системы неоднородных линейных уравнений...................................	23
1.1. Основные понятия и определения........................................................	23
1.2. Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли .......................................................................	24
§ 2. Линейные системы n уравнений с n неизвестными. Матричный
способ решения. Формулы Крамера............................................................	26
2.1. Метод Гаусса (метод исключения переменных) ................................	28
§ 3. Однородные системы линейных уравнений.......................................	31
§ 4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
(балансовый анализ) .....................................................................................	33
Упражнения...................................................................................................	35
Глава 3. Векторная алгебра......................................................................	38
§ 1. Системы координат................................................................................	38
§ 2. Понятие и определение вектора...........................................................	38
§ 3. Действия над векторами........................................................................	39
3.1. Линейные операции над векторами в геометрической форме..........	39
3.2. Проекция вектора на ось.......................................................................	41
3.3. Алгебраическая форма векторов..........................................................	42
§ 4. Скалярное произведение векторов.......................................................	44
Упражнения...................................................................................................	45
Глава 4. Линейные пространства и линейные операторы.................	46
§ 1. Линейные пространства........................................................................	46
1.1. Понятие n го пространства.................................................................	46
1.2. Линейные пространства........................................................................	47

157

1.3. Переход к новому базису...............................................................................	50
1.4. Понятие евклидова пространства.................................................................	52
§ 2. Линейные операторы .....................................................................................	54
2.1. Отображение и преобразование плоскости.................................................	54
2.2. Линейные операторы .....................................................................................	55
2.3. Матрица линейного оператора......................................................................	56
2.4. Связь между проекциями вектора и его образа ..........................................	57
§ 3. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора..........	58
3.1. Симметрические линейные операторы........................................................	62
§ 4. Квадратичные формы.....................................................................................	63
§ 5. Линейная модель обмена...............................................................................	66
Упражнения............................................................................................................	68
Глава 5. Уравнение линии.................................................................................	69
§ 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости ...................	69
1.1. Расстояние между двумя точками................................................................	69
1.2. Деление отрезка в данном отношении.........................................................	70
§ 2. Уравнение линии на плоскости ....................................................................	70
2.1. Уравнение прямой линии..............................................................................	71
§ 3. Кривые второго порядка................................................................................	77
3.1. Окружность.....................................................................................................	77
3.2. Эллипс .............................................................................................................	77
3.3. Гипербола........................................................................................................	79
3.4. Парабола..........................................................................................................	81
§ 4. Элементы аналитической геометрии в пространстве.................................	82
4.1. Уравнение поверхности в пространстве......................................................	82
4.2. Уравнение плоскости в пространстве..........................................................	83
4.3. Уравнение линии в пространстве.................................................................	85
4.4. Уравнение прямой в пространстве… ...........................................................	86
Упражнения............................................................................................................	89
ТЕМА № 2. Введение в анализ бесконечно малых.......................................	90
Глава 6. Функция. Основные свойства функций.........................................	91
§ 1. Понятие множества. Действия над множествами.......................................	91
1.1. Абсолютная величина. Окрестность точки.................................................	92
§ 2. Понятие и определение функции..................................................................	92
2.1. Способы задания функции............................................................................	93
2.2. Виды функций ................................................................................................	94
2.3. Элементы поведения функции......................................................................	96
2.4. Классификация элементарных функций......................................................	97
§ 3. Применение функций в экономике ..............................................................	98
Упражнения............................................................................................................	99
Глава 7. Пределы и непрерывность функции...............................................	99
§ 1. Числовая последовательность и ее предел..................................................	99
1.1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ................................	101

158

§ 2. Предел функции в точке................................................................................	102
2.1. Свойства пределов функции.........................................................................	103
§ 3. Замечательные пределы.................................................................................	105
3.1. Первый замечательный предел.....................................................................	105
3.2. Второй замечательный предел......................................................................	106
3.3. Число e . Натуральные логарифмы..............................................................	107
3.4. Задача о непрерывном начислении процентов...........................................	107
§ 4. Раскрытие неопределенностей......................................................................	109
§ 5. Непрерывность функции...............................................................................	110
5.1. Непрерывность функции в точке..................................................................	110
5.2. Непрерывность функции на отрезке............................................................	112
Упражнения ...........................................................................................................	113
ТЕМА №3. Дифференциальное исчисление..................................................	115
Глава 8. Производная.........................................................................................	115
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной.............................................	115
1.1. Понятие и определение производной..........................................................	117
1.2. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью..............	118
1.3. Производные некоторых элементарных функций......................................	119
1.4. Основные правила дифференцирования .....................................................	120
1.5. Производная обратной функции ..................................................................	121
1.6. Производная сложной функции....................................................................	122
1.7. Логарифмическое дифференцирование.......................................................	123
1.8. Производные высших порядков...................................................................	124
§ 2. Использование производной в экономике...................................................	125
Приложения...........................................................................................................	127
§ 3. Вывод производных основных элементарных функций............................	127
3.1. Правила дифференцирования (доказательства)..........................................	129
3.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически.......................	130
3.3. Дифференцирование неявных функций......................................................	131
Упражнения ...........................................................................................................	131
Глава 9. Дифференциал функции....................................................................	133
§ 1. Понятие и определение дифференциала......................................................	133
1.1. Геометрический смысл дифференциала......................................................	134
1.2. Таблица дифференциалов .............................................................................	135
1.3. Инвариантность формы дифференциала.....................................................	136
1.4. Дифференциалы высших порядков..............................................................	136
§ 2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям..................	136
Упражнения ...........................................................................................................	137
Глава 10. Приложение производной к исследованию функций................	138
§ 1. Теоремы о конечных приращениях..............................................................	138
§ 2. Раскрытие неопределенностей при помощи производной........................	139
2.1. Правило Лопиталя..........................................................................................	139
§ 3. Приложение производной к исследованию функций................................	142

159

3.1. Признаки постоянства функций ...................................................................	142
3.2. Признаки монотонности функций................................................................	142
3.3. Экстремум функций.......................................................................................	143
3.4. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке........................	146
3.5. Выпуклость функции. Точки перегиба........................................................	147
3.6. Асимптоты графика функции.......................................................................	148
3.7. Общая схема исследования функций и построение графиков..................	150
Упражнения............................................................................................................	152
Приложения..........................................................................................................	154
Библиографический список..............................................................................	156
Оглавление ...........................................................................................................	157

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.1 Mб6Методическое пособие 384.pdf
#
30.04.20221.1 Mб2Методическое пособие 385.pdf
#
30.04.20221.1 Mб3Методическое пособие 386.pdf
#
30.04.20221.11 Mб6Методическое пособие 387.pdf
#
30.04.20221.11 Mб4Методическое пособие 388.pdf
#
30.04.20221.11 Mб2Методическое пособие 389.pdf
#
30.04.2022371.71 Кб6Методическое пособие 39.doc
#
30.04.2022290 Кб3Методическое пособие 39.pdf
#
30.04.20221.12 Mб3Методическое пособие 390.pdf
#
30.04.20221.12 Mб6Методическое пособие 391.pdf
#
30.04.20221.13 Mб5Методическое пособие 392.pdf