Методическое пособие 389

Пример. Дано каноническое уравнение гиперболы: x2 y2 1. 16 4

Найти все параметры гиперболы: полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты, директрисы, фокальные радиусы (решить самостоятельно).

3.4. Парабола

Пусть на плоскости заданы точка F ( 2p ,0) и прямая x d , не проходящая

через эту точку.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F( 2p ,0) , называемой фокусом и данной прямой

x d , называемой директрисой.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p . Эта величина

называется параметром параболы.

Расположим ось абсцисс так, чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела положительное направление от директрисы к фокусу (рис. 5.9). За начало координат возьмем середину перпендикуляра FP , проведенного из фокуса перпендикулярно к директрисе

В выбранной таким образом системе фокус имеет координаты F( 2p ,0) ,

а уравнение директрисы имеет вид x 2p . y

N ( 2p , y)

M (x, y)

x 2p

Рис. 5.9

Пусть M (x, y) – текущая точка параболы. Тогда по определению пара-

болы имеем NM MF , NM {x 2p ,0} , MF {x 2p , y},

81

Это уравнение называется каноническими уравнением параболы.

Исследуем форму параболы по её каноническому уравнению.

Так как в это уравнение x входит лишь в четной степени, то ось абсцисс является осью симметрии параболы. Вся кривая расположена справа от оси ординат, так как левая часть уравнения (5.23) неотрицательна, и, следовательно, переменная x , стоящая в правой части этого уравнения, не может быть отрицательной.

При x 0 имеем y =0. Следовательно, кривая проходит через начало координат. При неограниченном возрастании x абсолютная величина y также

неограниченно возрастает.

Таким образом, парабола имеет вид, представленный на рис. 5.9.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется её вершиной. Если фокальную ось параболы принять за ось ординат, то уравнение примет вид

§ 4. Элементы аналитической геометрии в пространстве 4.1. Уравнение поверхности в пространстве

Подобно уравнению F(x, y) 0 (см. § 2), которое определяет на плоскости некоторую линию, уравнение

в общем случае определяет в пространстве 0xyz некоторую поверхность.

Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется уравнение, содержащее три переменные F(x, y, z) 0 , которому удовлетво-

ряют координаты точек, лежащих на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, которые не лежат на этой поверхности.

Задача заключается в следующем: задается поверхность как геометрическое множество точек, обладающее определенным свойством. Требуется составить уравнение этой поверхности.

82

Составим уравнение сферы радиуса R с центром в точке С ( a,b,c ).

4.2. Уравнение плоскости в пространстве

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

Простейшей поверхностью в пространстве является плоскость. Плоскость в пространстве можно определить различными способами. Например, через три точки можно провести только одну плоскость. Плоскость можно провести через точку, перпендикулярно к некоторой прямой или через две пересекающиеся прямые и т.д. В связи с этим плоскость будет иметь различные уравнения.

Пусть в пространстве дана точка Mo( x0 , y0 , z0 ) и некоторый вектор

n{A, B,C}. Вектор, перпендикулярный к плоскости, называют нормальным

вектором этой плоскости или нормалью.

Выберем на плоскости текущую точку M (x, y, z) (рис. 5.10). Рассмотрим вектор M 0 M , соединяющий точки M и M 0 ,

где M 0 M{x x0 , y y0 , z z0}.

n{A, B, C}

Рис. 5.10

83

При любом положении точки M на плоскости вектор M 0 M перпен-

дикулярен нормальному вектору n , поэтому их скалярное произведение будет равно нулю, то есть (M 0 M ,n) 0 или

Важно знать и помнить, что коэффициенты A, B,C в (5.28) являются

проекциями вектора, нормального к данной плоскости.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (3, 4, 2 ) перпендикулярно вектору n 3i 4 j 5k.

Решение. Здесь A 3, B 4,C 5 ,

3(x 3) 4y 5z 15 0 , 3x 4y 5z 24 0.

2. Общее уравнение плоскости

В предыдущем пункте мы показали, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат.

Рассмотримтеперьобщееуравнениепервойстепенистремяпеременными:

Сравнивая это уравнение с уравнением (5.28) , мы видим, что оно является уравнением плоскости, проходящей через точку М (0,0, CD) с нормаль-

ным вектором n{A, B,C) . Этим мы доказали, что всякое уравнение первой

степени является уравнением некоторой плоскости.

Уравнение (5.29) называется общим уравнением плоскости.

3. Угол между плоскостями

Рассмотрим две плоскости, заданные соответственно уравнениями

A1x B1 y C1z D1 0 и A2 B2 y C2 z D2 0.

Под углом между двумя плоскостями мы понимаем один из двугранных углов, образованных этими плоскостями

Угол между этими плоскостями – это угол между нормальными векто-

рами n1{A1, B1,C1} , n2{A2 , B2 ,C2 } .

84

Поэтому

Следует заметить, что две плоскости:

1) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда их нормали коллинеарные n1 // n2 , т.е. их проекции пропорциональны:

2) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормали перпендикулярны n1 n2 , т.е. скалярноепроизведениеэтихвекторовравнонулю:

4. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны точка M0(xo,yo,zo) и плоскость, заданная уравнением

A x+B y+C z+D=0.

Расстояние d между ними, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки М0 на плоскость, определяется по следующей формуле:

Если эти поверхности заданы уравнениями F1 (x, y, z) 0 и F2 (x, y, z) 0 , то линия их пересечения определяется системой уравнений:

85

Текущие координаты любой точки М(x,y.z) указанной окружности удовлетворяют каждому из этих уравнений.

4.4. Уравнение прямой в пространстве

1. Общее уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим систему уравнений первой степени

Каждое из уравнений этой системы является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны, то система (5.36) определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей, т.е. как множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из этих уравнений.

Уравнение (5.36) называется общим уравнением прямой в пространстве.

2. Векторное и параметрические уравнения прямой

Положение прямой в пространстве вполне определяется какой-нибудь точкой и вектором s, параллельным этой прямой или лежащим на ней. Век-

тор s называется направляющим вектором этой прямой, а его проекции −

направляющими коэффициентами прямой.

Пусть прямая а) задана её точкой M 0 (x0 , y0 , z0 ) и направляющим век-

тором s mi nj pk,где m, n, p направляющие коэффициенты прямой. Рассмотрим произвольную точку M (x, y, z) на прямой (рис. 5.11).

r0 r

x

где r0 и r радиусы – векторы точек М0 и М.

86

Так как M 0M // s , то M 0 M ts , где t − некоторый скалярный множитель, называемый параметром, может принимать любое значение в зависи-

Это уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве. Представим уравнение (5.38) в координатной форме. Замечая, что

Уравнения (5.39) называются параметрическими уравнениями прямой. При изменении параметра t изменяются координаты x, y, z и точка

M (x, y, z) перемещается по прямой.

3. Каноническое уравнение прямой

Выразим из каждого равенства системы (5.39) параметр t :

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через дан-

ную точку или каноническим уравнением прямой.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через две точки М1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2). За направляющий вектор примем вектор, соединяющий эти точки:

s M1M 2 {(x2 x1 ),( y2 y1 ),(z2 z1 )}.

Следовательно, m x2 x1 , n y2 y1 , p z2 z1 и поэтому из уравнений (5.40) имеем

87

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две

точки.

Пример. Уравнение прямой, проходящей через точки M1(1,3,-5) и

M2(1,4,2), имеет вид x 1 y 3 z 5 . 0 1 7

Так как m 0 , то данная прямая перпендикулярна оси 0x и уравнение прямой можно записать в виде

5. Угол между двумя прямыми

Пусть в пространстве две прямые заданы уравнениями

Под углом между прямыми понимают угол между направляющими век-

торами s1 { m1, n1, p1} и s2{m2 , n2 , p2}.

Так как s1 m1i n1 j p1k , a s2 m2i n2 j p2k , то по формуле угла между векторами, получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых аналогичны условиям коллинеарности и перпендикулярности направляющих векторов этих прямых, то есть, если прямые параллельны, то их проекции пропорцио-

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2,3),

2x 3y 5z 7 0,

параллельно прямой

3x 4y z 8 0.

Решение. Запишем уравнение искомой прямой в каноническом виде:

x 1 y 2 z 3 . m n p

Направляющий вектор искомой прямой будет перпендикулярен плоскости, где лежат нормали плоскостей, образующих данную прямую, следова-

88

УПРАЖНЕНИЯ

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку À(2, 3) :

а) параллельно оси 0õ; б) параллельно оси 0y ; c) составляющей с осью 0õ угол 45î .

2x 6y 5 0 .

3.Дан треугольник с вершинами A( 3,2), B(1, 3), C(3,4). Найти уравнения сторон треугольника, медианы AE , высоты AK . Вычислить их длины.

4.В треугольнике ABC даны уравнения: стороны: AB ) 3x 2y 12 0, вы-

соты BM ) x 2y 4, высоты AM ) 4x y 6 0, где M – точка пересечения высот. Найти уравнения сторон AC, BC и высоты CM .

5. Даны вершины треугольника A( 2,4), B(3, 4), C(5,6). Найти:

а) уравнение и длину стороны AB ;

б) уравнение и длину высоты CH ;

в) уравнение и длину медианы AM ;

г) точку пересечения высоты CH и медианы AM ;

6. Даны две вершины треугольника: ABC : A( 4,4), B(4, 12) и точка M (4,2) пересечения его высот. Найти вершину C .

7. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей x2 y2 5, x2 y2 2x 4y 31 0.

8. Данэллипс x2 y 2 1. Найтикоординатыегофокусовиэксцентриситет.

25 9

89

9. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) его малая ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10;

б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен 53 ;

в) расстояние между фокусами равно 4 , расстояние между директрисами равно 5.

10. По каноническому уравнению гиперболы 36x2 64y 2 1 найти ее полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

11. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что а) расстояние между фокусами равно 10, а между вершинами – 8; б) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку А(9, 4) ;

в) Действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам.

12.Составить каноническое уравнение параболы, если парабола имеет фокус F(0,2) и вершину в точке O(0,0) .

13.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку À( 2,5,3)

14.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(3, 4, 2) перпендикулярно плоскости 4x 7 y z 4 0 .

15.Дантетраэдр A(1, 3,0,), B(2,5, 1), C(3, 1,4), D(2, 5,3) . Составитьуравнения:

a) прямой (ребра) AB ; б) прямой (высоты) DK ; в) вычислить длины AB и DK ; г) вычислить угол BAC ; д) вычислить площадь грани ABC ; е) вычислить объем тетраэдра.

ТЕМА № 2

ВВЕДЕНИЕВАНАЛИЗБЕСКОНЕЧНОМАЛЫХ

Понятие бесконечно малой величины − это основное понятие математического анализа. Оно было впервые рассмотрено Ньютоном и Лейбницем и является основой таких операций, как дифференцирование и интегрирование.

90