Методическое пособие 389

Таким образом окружности на плоскости соответствует уравнение с двумя переменными (5.4).

Следовательно, этому уравнению удовлетворяют координаты точек, лежащих на окружности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на окружности.

Определение. Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными F(x, y) 0 , которому удовлетворяют координа-

ты любой точки, лежащей на этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой линии.

Если точка M (x, y) передвигается по линии, то ее координаты, изменя-

ясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки называются текущими, а сама точка – текущей точкой.

Простейшей линией на плоскости является прямая линия.

2.1. Уравнение прямой линии

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть в прямоугольной системе координат 0xy дана некоторая прямая,

образующая с осью 0х угол (рис. 5.3).

Определение. Угловым коэффициентом прямой линии называется тангенс угла наклона прямой с осью 0x т.е. k tg .

Выберем на этой прямой произвольную (текущую) точку М(x, y) .

71

Из треугольника АВМ (рис. 5.3) следует:

Этоуравнениеназываетсяуравнениемпрямойсугловымкоэффициентом.

Если прямая параллельна оси ох, то 0 , k tg 0 , её уравнением будет уравнение вида y b ; если прямая перпендикулярна оси 0x , то

2 , tg , угловой коэффициент не существует. В этом случае урав-

нением прямой будет x a , так как все точки такой прямой имеют абсциссу, равную a .

Зная координаты двух точек, лежащих на прямой A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ) ,

можно найти угловой коэффициент этой прямой.

Так как точки лежат на данной прямой, то их координаты удовлетворяют ее уравнению, y1 kx1 b и y2 kx2 b . Вычитая из первого уравнения

второе получаем

y1 y2 k(x1 x2 ),

из которого получаем формулу для отыскания углового коэффициента прямой, проходящей через две точки:

Пример. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки: A(2, 3), B(1,4).

Решение: k 3 4 7. 2 1

2. Угол между двумя прямыми

Любые две прямые на плоскости образуют некоторый угол. Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат две прямые a1 ) и a2 ), обра-

зующие между собой угол . (рис. 5.4).

72

y

Это условие параллельности двух прямых, т.е. если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны и, наоборот, если угловые коэффициенты прямых равны, то они параллельны.

перпендикулярности двух прямых, т.е. если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Так, например, прямые y=2x−3 и y=2x+6 параллельны, а прямые y= 3x+4 и y= 13 x 4 перпендикулярны.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (уравнение пучка прямых)

Пусть прямая проходит через данную точку M (x0 , y0 ) и образует с осью

73

Уравнение (5.8) с различными значениями k называют также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 , y0 ). Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси 0y .

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3,-2) перпендикулярно к прямой 2x –5y+3=0.

Решение. Угловой коэффициент данной прямой находим из его уравнения: k = 52 , а искомой прямой k1 52 , следовательно:

y 2 52 (x 3) ,2y 4 5x 15 , 2y 5x 11 0.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть прямая проходит через две точки A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ).

Прямая проходит через точку A , следовательно можно уравнение прямой записать согласно (5.8) в виде

Через данную точку перпендикулярно к данному вектору можно провести

только одну прямую. Получим ее уравнение. Вектор n называется нормалью прямой (рис. 5.5).

y

M 0 (x0 , y0 )

Рис. 5.5

74

Возьмем на прямой текущую точку М(x,y).

Тогда векторы M 0 M {x x0 , y y0 } и n{A, B} перпендикулярны и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

(n, M 0 M ) 0 , A(x x0 ) B( y y0 ) 0 ,

Этому уравнению удовлетворяют все точки прямой. Оно называется

общим уравнением прямой.

Общее уравнение прямой можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом:

6. Уравнение прямой в отрезках на осях

Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки A(a,0), B(0,b) а и b отрезки, отсекаемые прямой на соответствующих осях (рис. 5.6):

y

B(0,b)

7. Расстояние от точки до прямой

Пусть уравнение прямой задано в общем виде Ax By C 0 и точка

M 0 (x0 , y0 ) (рис. 5.7).

Вектор M0M{x x0 , y y0 ) n{A, B) (нормаль к прямой , d – расстояние от точки и до прямой.

75

Скалярное произведение этих векторов будет

(n, M0M ) nM0M cos .

y

d

M (x, y)

0 х

где С=( Ax1 By1) .

Окончательно имеем

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо в общее уравнение прямой вместо текущих координат подставить координаты данной точки и разделить на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при переменных, при этом знак перед квадратным корнем надо брать обратным знаку свободного члена или результат взять по модулю.

Пример. Найти расстояние от точки М(–3,4) до прямой x 4y 4 0 .

76

§ 3. Кривые второго порядка

Общее уравнение первой степени имеет вид Ax By C 0 , где A 0, B 0 одновременно. Геометрическим образом этого уравнения явля-

ется прямая линия.

Общее уравнение второго порядка имеет вид

где А 0 , B 0 , C 0 одновременно.

Выясним, какие геометрические образы соответствуют уравнениям второго порядка.

3.1. Окружность

Положим в уравнении (5.14) B 0, A C 1.

x2 y2 2Dx 2Ey F 0 ,

(x2 2Dx D2) (y2 2Ey E2) D2 E2 F;

(x D)2 (y E)2 D2 E2 F,

2)еслиD2 E2 F 0 , одна точка D, E ;

3)еслиD2 E2 F 0, тообраза нет.

3.2. Эллипс

Пусть на плоскости даны две точки F1 ( c;0) и F2 (c;0) , расстояние между

которыми 2 c и дано число a c .

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть

величина постоянная, равная 2a .

y

В1

Рис. 5.7

77

Построим векторы F1M , F2 M (рис. 5.7).

F1M F2 M 2a , F1M{x c, y} , F2 M{x c, y}

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .

Возводя обе части в квадрат и упрощая выражение, получим x2 (a2 c2 ) a y2 a2 (a2 c2 ) .

Так как a c , a c 0 , то полагая

Поделим на a2b2 и окончательно получим

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Исследуем форму эллипса. Из канонического уравнения эллипса легко получить уравнение эллипса в явном виде:

1.x a , y b.

2.Так как координаты точек M1 (x, y) , M 2 ( x, y) , M 3 ( x, y) , M 4 (x, y) удовлетворяют уравнению (5.16), то эллипс замкнутая симметричная линия

относительно и осей координат и начала координат.

3.Оси координат являются осями симметрии эллипса, начало координат – центром симметрии.

4.Точки А( a,0 ) , А1( a,0 ) , В( 0,b ) , B1( 0, b ) называются вершинами эл-

липса, расстояния между вершинами – осями эллипса , причём ось АА1 называется большой осью , ВВ1 – малой осью , соответственно 0А = a называется большой полуосью , 0В = b малой полуосью.

Точки F1(–c,0) , F2(c,0) называются фокусами эллипса , F1F2= 2c – расстоянием между фокусами , 0F = c – фокусным расстоянием.

5.Формула (5.15) даёт соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием: b2 a2 c2 .

6.Величина ac называется эксцентриситетом эллипса, ε<1, так как c a .

78

Из этой формулы видно, что чем a ближе к b , тем эксцентриситет уменьшается и, следовательно, эллипс приближается к окружности.

При a b эллипс становится окружностью: x2 y2 a2 ,

эксцентриситет окружности ε=1. Прямые x a , x a , x a называ-

ются директрисами эллипса. Расстояния от фокусов до точки эллипса назы-

ваются фокальными радиусами:

3.3. Гипербола

Пусть на плоскости даны две точки F1( c,0 ) и F2(c,0 ) , расстояние меж-

ду которыми 2c и число a c .

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a .

Составим уравнение гиперболы (рис. 5.8).

Рис. 5.8

По определению гиперболы MF1 MF2 2a , где

MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2 .

79

Проводя действия аналогичные действиям при выводе формулы эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

иx a , следовательно, вся кривая расположена вне прямых x a .

2.Так как точки M(x,y) , M( x, y ) , M x, y ) , M( x, y ) удовлетворяют урав-

нению (3.24), то гипербола является симметричной линией как относительно осей, так и относительно начала координат.

3.При x , y , при x a , y 0 . Точки А1 , А2 , В1, В2 называются вершинами гиперболы.

4.Прямые y ba x , к которым неограниченно приближаются ветви гипербо-

лы при неограниченном удалении в бесконечность точек кривой, называются

асимптотами гиперболы.

5.Расстояние между вершинами А1А2 называется действительной осью, а

В1В2 − мнимой осью гиперболы., a − действительная, b − мнимая полуоси.

6.Если a b получаем x2 y2 a2 − равнобочная гипербола.

действительными вершинами. r a x , r a x фокальные радиусы

(расстояния от точек левой и правой ветвей гиперболы до её фокусов).

Для практического построения гиперболы надо сначала построить прямоугольник АВСD с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям 0x и 0y и равными, соответственно, 2a и 2b. Этот прямоугольник называется основным. Каждая из его диагоналей , неограниченно продолженная в обе стороны , является асимптотой гиперболы. Рекомендуется сначала строить асимптоты, а затем ветви гиперболы.

80