Методическое пособие 389

функцией от x .

В некоторых случаях уравнение (8.19) удаётся разрешить относительно y , и тогда можно перейти к явному заданию функции y f (x) . В других

случаях переход оказывается невозможным. Но в любых случаях производная от y по x может быть определена следующим образом:

сначала находим производную от левой части равенства (8.19), рассматривая при этом y как функцию от x (т.е. при нахождении производной по

y , ее надо формально умножить на y ) и приравнять нулю.

Затем надо разрешить полученное уравнение относительно y , в резуль-

тате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде: y f (x, y)

Пример. Найти производную неявной функции: 3x5 2y4 5 0 .

Решение. Дифференцируем по x , учитывая, что y f (x) :

15x4 8y3 y 0 .

Выражаем y : y 158yx34 .

131

132

4. Записать уравнение нормали к данной кривой в точке:

прямой y 8x 4.

6.Найти точку на кривой y 3x2 4x 6 , касательная в которой параллельна прямой 8x y 5 0.

7.Объем продукции u (усл.ед.) цеха в течение рабочего дня представля-

ет функцию u t3 5t 2 75t 425 , где t время (ч) . Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

8. Зависимость между издержками производства y (ден.ед.) и объемом

выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией y 10x 0,04x3 . Определитьсредниеипредельныеиздержкиприобъемепродукции, равном5 ед.

Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ § 1. Понятие и определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции, одного из важнейших понятий высшей математики.

Пусть функция y f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x , то есть в точке x существует конечная производная

y lim y .

x 0 x

Таким образом, приращение функции y представимо в виде суммы двух частей. Первое слагаемое y x − линейное относительно приращения аргумента x и оно является бесконечно малой того же порядка, что и x .

133

Второе слагаемое x является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем x . Поэтому при малых значениях x приращение функции можно приближённо заменить его главной частью y x , то есть

т.е. дифференциал независимой переменной dx равен ее приращению x .

Таким образом, дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента (переменной). Из (9.4) производную можно представить как отношение дифференциала функции к дифференциалу

M (x, y) Р

dy

Рис. 9.1

134

Пусть M ( x, y ) и N ( (x x, y y) точки графика, MT – касательная к графику в точке M ( x, y ) (рис. 9.1).

Приращению аргумента x MP соответствует приращение функцииy NP . Из прямоугольного треугольника TMP: ТР = МР tg .

В силу геометрического смысла производной tg y , а MP x dx. Поэтому ТР = y dx dy.

Таким образом, дифференциал функции равен приращению ордина-

ты касательной, проведённой к графику функции в данной точке М ( x, y ).

В этом состоит геометрический смысл дифференциала функции.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной. Приведем их без доказательства.

Согласно формуле (9.4) для получения дифференциала нужно умножить производную на дифференциал независимой переменной dx . Это позволяет нам из таблицы формул для производных сразу получить соответствующую таблицу для дифференциалов. Например,

135

Таким образом, дифференциал сложной функции записан в той же форме, что и дифференциал простой функции, т.е. как произведение производной на дифференциал аргумента и не зависит от того, является ли аргумент

u независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (т.е. неизменностью) формы дифференциала.

1.4. Дифференциалы высших порядков

Определение. Дифференциалом n ãî порядка функции y f (x) называется дифференциал от дифференциала (n 1) го порядка этой функции, т.е. d n y d (d n 1 y) .

Если дана функция y f (x) , где x независимая переменная, то d 2 y y dx2 , d 3 y y dx3 ,...,d n y y(n)dxn .

Здесь dxn (dx)n .

Заметим, что дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы, в отличие от дифференциала первого порядка.

§ 2. Применение дифференциала к приближённым вычислениям

Пусть известно значение функции y f (x) в точке x . Покажем, как найти значение функции f (x x) в некоторой близкой точке ( x + x ).

При достаточно малых x в формуле (9.1) можно перейти к приближенному равенству y f (x) x , т.е. оставить главную часть приращения

функции, а бесконечно малую величину более высокого порядка малости отбросить.

Эта формула решает поставленную задачу, т.е. позволяет вычислить приближённое значение функции, соответствующее приращённому значению аргумента, когда приращение аргумента является достаточно малым.

136

Рассмотрим в качестве f (x) конкретные функции: 1) f (x) arctgx.

arctg(x x) arctgx 1 xx2 .

sin 310 sin 30 cos30 x 0,5 0,86 0,01 0,508.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти приращение функций и их дифференциалов и вычислить их значения при заданных x и x .

137

3. Найти дифференциалы первого и второго порядка функций:

Глава 10. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Производная функции имеет широкое применение к практическим задачам математики. Рассмотрим приложение производной для исследования поведения функций и построения их графиков. Прежде рассмотрим несколько основных теорем.

§ 1. Теоремы о конечных приращениях

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a,b ] и дифференцируема в интервале ( a,b ), то существует такая точка c (a,b) , в которой выполняется равенство

функции проведtм секущую AB . Угол, образуемый секущей AB с осью Оx , обозначим через , тогда

Рис. 10.1

138

Будем перемещать эту секущую параллельно исходному положению до тех пор, пока она не превратится в касательную CT к графику этой функции

в некоторой точке C(c, f (c)), где a c b . Такое предельное положение су-

ществует, так как функция по условию дифференцируема, следовательно, в каждой точке существует касательная к нему.

которое называется формулой конечных приращений или форму-

лой Лагранжа.

Следствие. Если производная функции равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция равна постоянной в этом промежутке.

Теорема Ролля. Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a,b , дифференцируема в интервале a,b и на концах отрезка равняется нулю f (a) f (b) =0 , то существует такая точка c (a,b) , в которой ее производная обращается в нуль, т.е. f (c) 0 (доказательство в приложении).

Теорема Коши. Если y f (x) и y = (x) − две функции, непрерывные на отрезке [ a,b ] и дифференцируемые в интервале ( a,b ), причем (x) 0 для всех x ( a,b ) , то между a и b найдется такая точка c , в которой вы-

§ 2. Раскрытие неопределенностей при помощи производной

В разделе «Пределы» мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций,

ем, называемый правилом Лопиталя, который позволяет раскрывать неопределённости при помощи производной.

2.1. Правило Лопиталя

Теорема. Если функции f (x) и (x) дифференцируемы в окрестности точки x = x0 и обращаются в нуль в этой точке или стремятся к бесконечно-

139

сти, то существует предел их отношения при x x0 , равный пределу отношения их производных (доказательство в приложении), т.е.

Рассмотрим неопределённости вида: 0 , , 1 , 0 , 0 , 00 . Замечание 2. Неопределенность вида ( ) получается от разности

двух бесконечно больших функций и при помощи алгебраических преобразований выражение [ f (x) − (x) ] приводится к основным неопределенно-

140