Методическое пособие 389

Некоторые из них равны нулю, а некоторые отличны от нуля. Определение. Рангом матрицы A называется наивысший порядок ми-

норов матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначается r( A) .

Так, например, у приведенной матрицы все миноры третьего порядка равны нулю, а среди миноров второго порядка имеются отличные от нуля, например,

13 5 0. Следовательно, ранг матрицы r( A) 2 .

21

Из определения ранга матрицы следуют его свойства.

1.Для матрицы размерности m на n , 0 r min(m, n), где min(m,n) – наименьшее из чисел m и n .

2.r 0, тогда и только тогда, когда матрица нулевая.

3.Для квадратной матрицы порядка n, r n тогда и только тогда, ко-

гда матрица невырожденная, т.е. À 0.

4. Если все миноры k -го порядка равны нулю , то и миноры ( k +1)- го порядка тоже равны нулю, т.е. , если r( A) k , то все миноры ( k 1) - го

порядка равны нулю.

Из этих свойств следует метод вычисления ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка равны нулю, т.е. все элементы матрицы равны нулю, то r( A) 0 . Если хотя бы один элемент матрицы отличен

от нуля, но все миноры второго порядка равны нулю, то r =1.

Так поступают до тех пор, пока найдется хотя бы один минор k -го порядка, не равный нулю, а все миноры ( k +1)-го порядка равны нулю . В этом случае r( A) k . Но такой метод связан с вычислением большого числа оп-

ределителей разных порядков. Наиболее эффективным является метод элементарных преобразований, рассмотренный ранее. В результате элементарных преобразований получаем эквивалентные матрицы, при этом ранг матрицы не изменяется. Действительно, от умножения элементов матрицы на одинаковое число или от перестановки местами рядов матрицы нулевой определитель останется нулевым, отличный от нуля – отличным от нуля, то есть не может измениться наивысший порядок отличного от нуля определителя.

В качестве примера рассмотрим предыдущую матрицу:

21

Эту матрицу мы получили, умножив первую строку на –2 ,затем на –8 и прибавив ее ко второй и третьей последовательно. Наконец, прибавляя к третьей строке вторую, умноженную на –3 , получим

Очевидно, что ранг этой матрицы меньше трех, так как имеются миноры второгопорядка, отличныеотнуля. Следовательно, рангматрицыравендвум r 2.

Определение. Базисным минором называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы. Матрица может иметь несколько базисных миноров.

Имеются и другие способы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров. Минор M k 1 порядка ( k 1), содер-

жащий в себе минор M k – минор k −го порядка, называется окаймляющий

минор M k .

Пример. Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы

Отметим свойства ранга матрицы.

1.При транспонировании матрицы ранг не меняется.

2.При отбрасывании нулевого ряда ранг не меняется.

3.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

4.Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали.

На последнем свойстве основан один из методов вычисления ранга мат-

рицы – метод элементарных преобразований.

На главной диагонали имеется две единицы, следовательно, r 2 .

22

Понятие ранга матрицы играет принципиальную роль при исследовании систем линейных уравнений.

Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ксистемам линейных уравнений приводит решение многих прикладных

иэкономических задач.

§ 1. Системы неоднородных линейных уравнений 1.1. Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

x j неизвестным, подлежащие определению. Эту систему можно записать в кратком виде

j 1

Решением системы называется такая совокупность чисел õ1, õ2 ,...õn , при подстановке которых в каждое уравнение получаем верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений. При элементарных преобразованиях получаются эквивалентные системы.

Систему (2.1) можно записать в компактной матричной форме:

23

Матрицы А и Õ согласованы, так как число столбцов первой равно числу строк второй, а их произведение есть матрица-столбец, который приравнен к матрице-столбцу Â .

ных членов, называется расширенной матрицей системы.

Система линейных уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю:

1.2. Решениесистемлинейныхуравнений. ТеоремаКронекера-Капелли

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы линейных уравнений (2.1) в самом общем виде дает теорема Кронекера–Капелли.

Теорема Кронекера –Капели. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. (Примем теорему без доказательства).

Из этой теоремы следует:

1.Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, т.е. система определена.

2.Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений, т.е. система неопределена. Из этой теоремы следует правило решения произвольной системы ли-

нейных уравнений:

1) находят ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A) r(A) , то система несовместна;

24

2) если r(A) r(A) , то система совместна.

Надо найти какой-нибудь базисный минор порядка r (напомним, что базисным минором является любой минор, определяющий его порядок). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор, а остальные отбросить.

Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор оставляют слева (их называют главными), а остальные (n r) неизвестные пере-

носят в правые части уравнений (их называют свободными);

3)выражают главные неизвестные через свободные. Получают общее решение системы;

4)придаваясвободнымнеизвестнымпроизвольныечисловыезначения, получают соответствующие значения главных неизвестных. Таким обра-

зом находят частные решения исходной системы уравнений. Пример 1. Исследовать на совместность систему

Так как r(A) r(A) , то система несовместна. Пример 2. Решить систему

x1 2x2 x3 x4 1,x1 2x2 x3 x4 1,x1 2x2 x3 3x4 3.

Решение. r(A) r(A) 2.

Так как имеется 1 1 2 0 , то берем два первых уравнения:

1 1

x1 2x2 x3 x4 1,x1 2x2 x3 x4 1.

25

§ 2. Линейные системы n уравнений с n неизвестными. Матрич-

ный способ решения. Формулы Крамера

Рассмотрим систему (2.1) при n m . Матрица такой системы квадратная порядка n . Пусть определитель этой матрицы 0 , то есть матрица невырожденная. Запишем систему в матричном виде:

A X B

Умножим обе части этого матричного уравнения слева на обратную матрицу A 1 : A 1 A X A 1 B.

Поскольку A 1 A E, E X X ,

Этот способ решения называется матричным способом решения системы. Равенство (2.5) можно записать в виде

по элементам первого столбца. Определитель 1 получается из определителяпутем замены первого столбца столбцом из свободных членов.

26

Итак, x1 1 . Аналогично x2 2 , где 2 получен из заменой второго столбца столбцом из свободных членов.

Ит.д. x3 3 ,..........xn n .

1.Если определитель 0 системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера (2.6).

2.Определитель системы 0 и i 0. В этом случае равенства (2.7) справедливы при любых x и y , то есть система имеет бесчисленное множество решений и является неопределенной.

3.Определитель системы 0 и определители i 0 .В этом случае равенства (2.7) не имеют места ни при каких значениях x и y . Следовательно, система не имеет решений и она является несовместной.

Пример. Решить систему уравнений

x1 x 2 x 3 3,2x1 x 2 x 3 11,

x1 x 2 2x 3 8

В матричном виде система имеет вид AX B.

27

заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам Крамера получаем

Решением системы является (4,2,1).

2.1. Метод Гаусса (метод исключения переменных)

Существенным недостатком решения систем n уравнений с n неизвестными по формулам Крамера и матричным способом является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Кроме того, рассмотренные способы не позволяют решать произвольные системы, когда число уравнений и неизвестных не совпадают.

28

Поэтому на практике для решения произвольных систем линейных уравнений применяют метод последовательного исключения перемен-

ных (метод Гаусса).

Рассмотрим систему в общем виде, то есть систему m уравнений с n неизвестными:

В этой системе число уравнений m может быть меньше, равно или больше числа неизвестных n . Предлагаемый метод Гаусса заключается в следующем.

Предположим, что коэффициент при первом члене первого уравнения a11 0 . Этого всегда можно добиться перестановкой местами уравнений, ли-

бо переименованием коэффициентов при неизвестных xk .

Умножим все члены первого уравнения на a12 и прибавим ко второму

a11

уравнению. Получим уравнение, в котором коэффициент при x1 обращается

в ноль. Умножая первое уравнение на a13 и прибавляя к третьему уравне-

a11

нию, получим уравнение, также не содержащее члена с x1 .

Аналогично преобразуя все остальные уравнения, получаем следующую систему уравнений:

Предполагая, что a22 0, умножая второе уравнение на a32 и склады- a22

вая с третьим уравнением, исключим из всех последующих уравнений переменную x2 .

29

Продолжая этот процесс, систему (2.1) можно привести к одной из следующих систем:

x1, x2 ,....xn этой системы называется обратным ходом метода Гаусса. Эта система, а следовательно, и исходная система имеют единственное решение. Так как bmn 0 , то из последнего уравнения xn определяется единственным образом. Подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, получим единственное значение для xn 1 . Продолжая этот процесс, находим последовательно xn 2 ,..., x1.

В системе (2.9) число неизвестных больше числа уравнений. Так как bkk 0, то из последнего уравнения этой системы xk единственным образом

выражается через xk 1 ,...xn . Осуществляя обратный ход, выразим единственным образом xk 1 ,...x1 через xk 1,..., xn . Придавая последним произволь-

ные значения, получим бесконечное множество решений системы (2.9), а следовательно, системы (2.1).

Система (2.2) не имеет решений – система несовместна.

30