Методическое пособие 389

1. Способ треугольников (Саррюса)

a31a22a13 a21a12a33 a11a32a23.

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Первое из слагаемых, взятых со знаком (+), представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы. Два следующих слагаемых содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основанием, параллельным главной диагонали. Остальные слагаемые берутся со знаком ( ) , они равны произведениям элементов

по побочной диагонали и в вершинах треугольников с основанием, параллельным побочной диагонали.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

4 6 12 9 4 8 3.

Рассмотренные выше свойства определителя второго порядка (1-6) верны и для определителя третьего порядка.

Существуют и другие способы вычисления определителей третьего поряд-

ка: способ приписывания параллельных рядов, способ приведения к нулям.

2. Вычисление определителя способом приписывания параллельных рядов

Этот способ заключается в том, что достаточно приписать первые две строки снизу, или последние две строки сверху, или первые два столбца справа, или два последних столбца слева. Получаем три полных диагонали, параллельных главной диагонали, и три полных побочных диагоналей. В этом случае число, равное определителю, представляет собой сумму произ-

11

ведений элементов, стоящих на главных диагоналях и минус произведения элементов, стоящих на побочных диагоналях. Для удобства записи и вычислений, обычно приписывают первые две строки снизу.

a21 a22 a23

= a11a22 a33 a21a32 a13 a31a12 a23 a31a22 a13 a11a32 a23 a21a12 a33 .

=3 4 0 + (–2) (–3) (–1) + 1 (–2) (3) –1.4. ( 1) 1–(3 (–3) 3– (–2) (–2) 0 = 19.

3.Вычисление определителя способом приведения к нулям

Этот способ основан на свойстве (6) определителя: определитель не изменится, если к элементам любого его ряда прибавить элементы параллельного ему ряда, умноженные на одно и то же число.

Здесь первую строку сначала умножили на 2 и сложили со второй, а затем ее умножили на (–3) и сложили с третьей.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка рассмотренными способами (самостоятельно):

12

2.3. Определители n -го порядка

Определителем, соответствующим квадратной матрице n го поряд-

ка, является число, которое записывается символически в виде

Для вычисления определителей порядка выше второго необходимо ввести новые понятия.

Минором Mij элемента aij матрицы n го порядка (1.4) называется определитель (n 1) го порядка, полученный из определителя n го порядка вычеркиванием i ой строки и j го столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Например, минором элемента а12 матрицы третьего порядка будет

называется его минор, взятый со знаком ( 1)i j :

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с его минором, если сумма номеров строки и столбца (i j) четное число, и отличается от минора зна-

ком, если (i j) нечетное число.

Знаки алгебраических дополнений, например, для определителя 3-го порядка, легко определять из следующей схемы:

Большое значение для вычисления определителей любого порядка имеет следующая теорема.

13

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения.

Для определителя третьего порядка это запишется так:

Доказательство. Вычислим определитель по правилу треугольника:

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31

a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13 (a21a32 a22a31)

a11M11 a12M12 a13M13 a11 A11 a12 A12 a13 A13.

4.Способ разложения определителя по элементам ряда

Формула (1.7) дает способ вычисления определителя, называемый спо-

собом разложения определителя по элементам ряда (строки или столбца).

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет свести вычисление определителя n го порядка к вычислению определителей (n 1) го

порядка.

Пример. Вычислитьопределитель(соответствующийтреугольнойматрице):

На этом частном примере мы убедились к тому же, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Теорема замещения. Сумма произведений алгебраических дополнений какого-нибудь ряда на любые числа a,b,c равна определителю *, который получается из данного заменой указанного ряда этими числами.

Доказательство. Рассмотрим определитель

14

полученный из определителя , заменой первой строки данными чис-

Свойство 7. Сумма произведений элементов любого ряда на алгебраические дополнениясоответствующихэлементовпараллельногоемурядаравнанулю.

определителя заменили на числа a11 , a12 , a13 − элементы первой строки.

В результате получили определитель с двумя равными строками, который (по свойству 4) равен нулю.

Свойство 8. Если A и B – две квадратные матрицы одного порядка, то

A B A B .

(Проверить самостоятельно).

Замечание. Все свойства определителей второго и третьего порядков остаются справедливыми для определителей любого порядка.

§ 3. Обратная матрица

При рассмотрении действий над матрицами деление матриц не рассматривалось. Однако можно ввести понятие, которое является некоторым эквивалентом этому действию.

Пусть дана квадратная матрица

Определение 1. Квадратная матрица B называется обратной к матрице A, если AB BA E , где E – единичная матрица. Обратная матрица

обозначается В A 1 . Таким образом,

AA 1 A 1A E

15

называется сопряженной матрице А – это матрица транспонированная к матрице, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов данной матрицы.

Теорема 1. Если А* сопряженная к матрице А, то имеет место соотно-

На главной диагонали мы получили сумму произведений элементов соответствующей строки на их алгебраические дополнения, которые равны определителю (по теореме Лапласа), а остальные суммы произведений элементов ряда на алгебраические дополнения элементов параллельных рядов равны нулю (свойство 7).

Определение 3. Квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Если определитель матрицы равен нулю, она называется вырожденной.

Докажем теперь, что для любой квадратной невырожденной матрицы А существует только одна обратная ей матрица и дадим способ ее построения.

Теорема 2. Для того чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

16

Доказательство.

Необходимость. Пусть матрица A имеет обратную B . Докажем, что матрица A невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю A 0 .

Воспользуемся свойством 8 определителя: AB A B .

Так как В – единичная матрица, то AB E 1, или A B 1, следователь-

В процессе доказательства теоремы мы получили следующий алгоритм вычисления обратной матрицы.

Обратная матрица представляет собой сопряженную А*, деленную на определитель матрицы. Матрица А* – это транспонированная матрица для

матрицы A , состоящей из алгебраических дополнений элементов данной матрицы A.

Таким образом, алгоритм (правило) построения обратной матрицы заключается в следующем:

1.Вычисляем определитель данной матрицы А .

2.Если А 0, составляем матрицу A `, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы A.

3.Транспонируем эту матрицу, получаем А* (А)T .

4.Строим обратную матрицу, поделив матрицу А* на определитель матрицы А : A 1 A * .

Для невырожденных матриц имеют место следующие свойства:

1) A 1 1A ; 2) A 1 1 A; 3) An 1 A 1 n ; 4) AB 1 B 1 A 1.

17

Примечание. Обратныематрицылегкостроитьдляматрицвторогопорядка.

Таким образом, в данной матрице второго порядка меняем местами элементы главной диагонали, а у элементов побочной диагонали меняем знаки и делим все элементы на определитель.

18

3. 1. Построениеобратнойматрицыспособомэлементарныхпреобразований

Рассмотрим необходимые для дальнейших рассуждений теоремы, которые приведем без доказательств.

Теорема 1. Всякая невырожденная матрица может быть приведена к единичной матрице с помощью элементарных преобразований только над параллельными рядами (столбцами или строками).

Покажем справедливость этого утверждения на конкретном примере:

Теорема 2. Всякая невырожденная матрица может быть получена из единичной путем элементарных преобразований только над параллельными рядами (столбцами или строками).

Теорема 3. Если к единичной матрице порядка n применить те же элементарные преобразования (только над параллельными рядами), с помощью которых матрица A приводится к единичной, то полученная при этом матрица будет обратной данной матрице.

Теорема 3 дает метод построения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

Для удобства записывают данную матрицу A и единичную E рядом через черту и одновременно производят элементарные преобразования только над строками обеих матриц. Если преобразования производить над столбцами, то единичную матрицу E надо подписывать под матрицей A .

Пример. Методом элементарных преобразований построить обратную матрицу для матрицы

19

§ 4. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерности m на n

этих рядов образуется квадратная матрица k -го порядка, определитель которой называется минором k -го порядка матрицы A и обозначается M k . Пересечение любой одной строки и любого столбца даёт минор первого порядка M 1, двух строк и двух столбцов – минор второго порядка M2 и т.д.