Методическое пособие 389

141

§ 3. Приложение производной к исследованию функций

Материал этого параграфа наиболее важен для решения задачи исследования функций и построения их графиков. Мы выделим наиболее важные, «узловые», точки функции, нахождение которых во многом определяют структуру графика. Это точки экстремума и точки перегиба.

3.1. Признаки постоянства функций

Пусть функция y f (x) дифференцируема на отрезке [a,b].

Теорема 1. Для того, чтобы функция y f (x) была постоянной на отрезке [a,b] , необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю во всех точках этого отрезка.

Необходимость. Пусть y C ( f (x) − постоянна для всех x [a,b] ). Тогда y (C) 0.

Достаточность. Пусть x [a,b] и y 0 .

Возьмем x1 x2 [ab]. Напишем для них теорему Лагранжа: f (x2 ) f (x1 ) f (c)(x2 x1 ) , где x1 c x2 .

Функция называется убывающей, если при x1 x2 , f (x1 ) f (x2 ) . В этом случае x è y разных знаков.

Возрастающая или убывающая на (a,b) функция называется монотон-

ной на этом промежутке.

Если на [a,b] для x1 x2, f (x1 ) f (x2 ), èëè f (x1 ) f (x2 ), то функция называется невозрастающей или неубывающей.

Теорема 2. (необходимое условие монотонности). Если дифференци-

руемая на (a,b) функция y f (x) возрастает на этом интервале, то ее производная положительна для всех x (a,b) , если функция убывает, то ее производная отрицательна на (a,b).

Доказательство. Пусть y f (x) возрастаетна (a,b), тогда x и уодногознака.

142

Пример. Исследовать на монотонность функцию y 2x3 1.

Это возрастающая функция на интервале ( , ) , так как при любом x ( , ) , y 2 3 x2 6x2 0.

Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если для всех x (ab) производная функции положительна f (x) 0, то функция возрастает

Рассмотренные условия монотонности позволяют определять интервалы монотонности функции. Интервалы, в которых функция только убывает или только возрастает, называются интервалами монотонности (интервал убывания, интервал возрастания).

Пример. Определить интервалы монотонности функции y x3 3x . y 3x2 3, y 0 ,3x2 3 0 , x2 1 0 , x 1 , x 1 ,

x2 1 0 , 1 x 1 ,

( , 1) (1, ) интервал возрастания, ( 1,1) интервал убывания.

3.3. Экстремум функции

Пусть y f (x) дифференцируема на интервале (a,b).

Определение. Наибольшее значение функции в окрестности данной точки называется максимумом этой функции. Это означает, что если для всех x (x0 ) выполняется неравенство

f (x) f (x0 ) ,

то в точке x0 функция имеет максимум. При этом точка x0 называется

точкой максимума, f (x0 ) максимумом функции. Если для всех

143

x (x0 ) , f (x0 ) f (x) , то x0 – точка минимума, f (x0 ) − минимум функ-

ции. Максимумиминимумназываютсяобщимназваниемэкстремумфункции.

y

y f (x)

f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) f (x4 )

Рис. 10.2

Понятия экстремума – локальные понятия . Они рассматриваются только вблизи точки x0 . Но на отрезке может оказаться, что минимум будет

больше максимума (рис. 10.2).

f (x4 ) min f (x) , f (x1 ) max f (x) , f (x4 ) f (x1 ).

Самое большое значение функции на отрезке [a,b] называется наи-

большим значением функции на отрезке, самое маленькое значение – наименьшим. Эти понятия называются глобальными понятиями.

Теорема 4 (необходимый признак существования экстремума).

Если дифференцируемая функция y f (x) имеет максимум или минимум (экстремум) в точке x x0 , то ее производная в этой точке равна нулю f (x0 ) 0 .

Доказательство. Пусть x0 – точка максимума. Тогда существует некоторая окрестность (x0 ) точки x0 , в которой выполняется неравенство

144

Так как функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в ней, то два последних соотношения совместимы лишь в том случае, когда f (x0 ) 0.

Аналогично в случае, когда функция в точке x0 имеет минимум. Замечание. 1. Функция может иметь экстремум в точке x0 , а ее производ-

ная не существует в этой точке (рис 10.3). Следовательно, если функция имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, либо не существует.

2. Если производная в точке равна нулю, то из этого не всегда следует, что функция в этой точке имеет экстремум.

Например: y x3 1. y 3x2 , y 3x2 0 , при x =0.

Производная равна нулю, но экстремума нет (рис. 10.4).

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими (стационарными, подозрительными).

Теорема 5 (достаточное условие существования экстремума)

Если дифференцируемая функция y f (x) имеет критическую точку x0 , и при переходе через нее слева направо первая производная меняет знак сна , то функция в этой точке имеет максимум, если с на , то име-

ет минимум.

Доказательство. Пусть точка x0 критическая, т.е. в ней первая производная равна нулю или не существует, а при переходе через неё меняет знак,

ческой точки), а при x x0 (справа от нее), функция убывает, т.е. функция принимает максимум, а x0 − точка максимума.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Пример. Исследовать на экстремум функцию y x3 3x .

Решение. y 3x2 3, x2 1 0, x1 1, x2 1 критические точки.

145

точкой экстремума, при этом, если f (x0 ) 0 , то x0 − точка минимума, а если f (x0 ) 0 , то x0 – точка максимума.

Замечание. Если в критической точке вторая производная обращается в нуль или не существует, то рассмотренный достаточный признак существования экстремума неприменим. В этом случае надо пользоваться признаком по первой производной.

3.4. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Очевидно, что наибольшим (наименьшим) значением функции на отрезке [ a,b ] будет ее самое большое значение (самое маленькое) из зна-

чений экстремумов и ее значений на концах отрезка f (a) и f (b) .

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольше-

го и наименьшего значений функции на отрезке:

1)находим производную функции и, приравняв её нулю, находим все критические точки;

2)вычисляем значения функции в критических точках;

3)вычисляем значения функции на концах отрезка f (a) и f (b) ;

4)из всех полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

146

Задача. Из листа прямоугольной формы a b требуется сделать открытый ящик для строительного раствора наибольшего объема, вырезав равные квадратные уголки и загибая металл (рис. 10.5).

3.5. Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба Определение. Кривая линия называется выпуклой, если она расположе-

на ниже любой своей касательной на данном интервале, и называется вогнутой, если целиком лежит над касательной. Точка, в которой кривая меняет выпуклость на вогнутость, называется точкой перегиба. В этой точке касательная пересекает график функции (кривую) (рис. 10.6).

y

y f (x)

Рис. 10.6

147

Теорема 7. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная

3.6. Асимптоты графика функции

Характерными линиями, помимо осей координат, являются асимптоты. Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции y f (x), если расстояние между точкой, движущейся по кривой и данной

прямой неограниченно уменьшается, стремясь к нулю. Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты

y

Рис. 10.7

148

функции y f (x), то lim f (x) . Следовательно, чтобы найти вертикаль-

x x0

ные асимптоты, надо найти точки, где f (x)= , т.е. точки разрыва второго рода. Тогда x = x0 − вертикальная асимптота.

2. Наклонные асимптоты

Пусть график функции y f (x) имеет наклонную асимптоту, т.е. прямую y kx b . Эта асимптота будет известна, если найдём угловой коэффициент k и отрезок b (рис. 10.8).

y N P

M

y f (x)

y kx b

149

3.7. Общая схема исследования функций и построения графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется следующая схема.

1.Нахождение области определения, точек разрыва, нулей функции.

2.Нахождение асимптот графика функции.

3.Исследовать на четность, нечетность, периодичность.

4.Нахождение интервалов монотонности и экстремумов функции.

5.Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости, точек перегиба .

6.Построение графика функции.

1. Находим область определения, точки разрыва, нули данной функци.

Функция существует при всех x , кроме x 1 и x 1. В этих точках она обращается в бесконечность, поэтому эти точки являются точками разрыва. Функция обращается в нуль при x 0 – это нуль функции и является точкой пересечения графика с осью 0x .

2. Находим асимптоты функции.

1)вертикальные асимптоты : x 1 , x 1;

2)наклонные асимптоты: y kx b ,

наклонных асимптот нет.

150