- •Часть 4
- •1.Функции нескольких переменных
- •1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
- •1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
- •1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
- •1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
- •1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.8. Производная по направлению. Градиент
- •1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
- •1.12. Достаточный признак экстремума
- •1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Двойной интеграл
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Основные свойства двойного интеграла
- •2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •2.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.7. Вычисление площадей поверхностей
- •2.8. Моменты инерции плоской фигуры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Тройной интеграл
- •3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла
- •3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.4. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла
- •3.5. Приложение тройного интеграла для вычисления массы тела
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Поверхностный интеграл II рода
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •5.3. Формула Остроградского-Гаусса
- •5.4. Формула Стокса
- •5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора
- •5.6. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала
- •5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Начала математического анализа
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 02.05.06.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция f(x; у) ≥ 0 непрерывна в области D.
Двойной интеграл численно равен объему цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Ранее было показано (метод параллельных сечений), что объем тела с известной зависимостью площади поперечного сечения от координаты секущей плоскости равен
,
где S(x) - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
Предполагается, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b, и кривыми у = φ1(x) и у = φ2(x), причем функции φ1(x) и φ2(x) таковы, что φ1(x) ≤ φ2(x) для всех х [а;b] (рис. 6). Такая область называется правильной в направлении оси Оу. Область D называется правильной в направлении оси Оу, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох: х = const, где х [а; b].
В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями z = f(x;y), где х = const, z = 0, y = φ1(x) и y = φ2(x) ( Рис. 7).
Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла
.
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
.
Следовательно,
.
Правая часть формулы называется двукратным или повторным интегралом от функции f(x;y) по области D. Двукратный интеграл представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берется внутренний интеграл . При вычислении внутреннего интеграла по y переменная внешнего интегрирования х считается постоянной. Потом берется внешний интеграл, при этом результат внутреннего интегрирования интегрируем по x; в пределах от а до b.
Если область D является правильной относительно оси Ох, то границы области при этом описываются уже другим образом: область D ограничена прямыми у = с и у = d (с<d), кривыми х = ψ1(y) и х = ψ2(y). Двойной интеграл приводится к двукратному интегралу, в котором внешнее интегрирование производится по переменной y, а внутреннее интегрирование _ по переменной x
.
Очень часто область D может быть рассмотрена как правильная в обоих направлениях, и двойной интеграл можно вычислять как по формуле (1.1), так и по формуле (1.2).
Пример 16. Вычислить , где область D ограничена линиями у = x2, у = 0, х+ у – 2 = 0.
Решение: На рис. 8 изображена область интегрирования D, которая в данном примере рассматривается как правильная в направлении оси Ох. Это соответствует определенному, удобному в данном примере способу описания границ области D:
Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (1.2):