1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
Пусть
функция z=f(x,y)
непрерывна в замкнутой области
.
В области
найдётся хотя бы одна точка, в которой
функция принимает своё наибольшее
значение M,
и найдется хотя бы одна точка, в которой
функция принимает своё наименьшее
значение m:
m
f(x,y)
M.
Точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значение, могу располагаться либо внутри, либо на границе области.
Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений надо:
1) найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках.
2) найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции.
3) затем выбрать наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел.
Пример
15.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
z
=
в
области
,
ограниченной линиями
,
.
Решение: Найдем критические точки внутри области, для чего приравняем нулю частные производные
.
Получаем
критическую точку M1(1,
).
Рассмотрим
границу области
,
представляющей собой треугольник АОВ
(Рис. 3). Сначала исследуется отрезок ОА,
на
котором имеем
и, значит,
.
Приравняв производную функции
нулю, имеем
и, следовательно, получаем стационарную
точку
.
Выделяем точки
и
,
где функция тоже может принять наибольшее
и наименьшее значения.
На
отрезке
имеем
,
z
=
,
,
что дает стационарную точку
.
Добавляем точку
.
Осталось
рассмотреть сторону
,
на которой
,
=
.
Найдем производную
=0,
после чего добавим еще одну
точку
или
.
Вычислим
значения функции в точках A,
B,
O,
,
,
,
:
,
,
,
,
,
,
.
В
точке
функция имеет наибольшее значение
=7.
В точке
функция имеет наименьшее значение
.
Вопросы для самопроверки
Дайте определение функции двух переменных.
Каков геометрический образ функции двух переменных?
Что называется линией уровня функции двух переменных?
Дайте определение предела функции двух переменных.
Достаточно ли для непрерывной в точке функции иметь предел в этой точке?
Каковы варианты нарушения непрерывности функции двух переменных в точке?
Что является частным приращением функции двух переменных?
Дайте определение частной производной функции двух переменных?
Каков геометрический смысл частной производной?
Дайте определение дифференцируемости функции в точке.
Что такое полный дифференциал функции двух переменных?
Сформулируйте теорему о необходимом условии дифференцируемости функции двух переменных.
Сформулируйте теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции двух переменных.
Чем отличается частная производная сложной функции нескольких переменных от полной производной?
Дайте определение производной функции по направлению вектора.
Что такое градиент функции двух переменных?
Что указывает направление градиента?
О чем говорит модуль градиента?
Скалярное произведение каких векторов представляет собой производная по направлению?
Обладает ли дифференциал второго порядка инвариантностью формы?
Что такое стационарная точка? Всегда ли в стационарной точке присутствует экстремум?
Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функции двух переменных.
О чем говорит достаточный признак существования экстремума?
Как определить, максимум или минимум находится в точке экстремума?
Задачи для самостоятельного решения
Найти частные производные функций:
1.
.
Ответ:
,
.
2.
.
Ответ:
,
.
3.
.
Ответ:
,
.
4.
.
Ответ:
,.
.
5.
.
Ответ:
,
.
Найти полные дифференциалы от функций:
6.
.
Ответ:
.
7.
.
Ответ:
.
8.
.
Ответ:
.
9.
Найти
,
если
,
,
.
Ответ:
,
.
10.
Найти полную производную функции
,
,
.
Ответ:
.
Найти производные неявно заданных функций:
11.
.
Ответ:
.
12.
.
Ответ:
.
Вычислить частные производные второго порядка:
13.
.
Ответ:
,
,
.
14.
.
Ответ:
,
,
.
15.
Найти производную функции
в точке
в направлении вектора
.
Ответ: 9,4.
Исследовать на экстремумы функций:
16.
.
Ответ: максимум находится в точке
.
17.
.
Ответ: минимум находится в точке
.