1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть неявно заданная функция z= f(x,y) определяется тождеством: F(x,y, f(x,y))=0.

Продифференцируем тождество по х, считая у постоянной величиной:

, , .

По аналогии находим: .

Чтобы частные производные неявной функции существовали, надо чтобы .

Пример 13. Найти производную для неявно заданной функции .

Решение: ; ; .

В точках у = -х производная не существует.

1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в точке М₀(x₀,y₀) и некоторой ее окрестности. Точка М₀(x₀,y₀) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность около точки М₀ , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М)<f(М₀) или z=f(М) - f(М₀)<0. Точка М₀(x₀,y₀) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность около точки М₀ , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М) f(М₀) или z=f(М) - f(М₀) 0.

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Следует отметить, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М₀(x₀,y₀) и имеет в этой точке экстремум, то

; .

Доказательство. Рассмотрим случай наличия в точке М₀(x₀,y₀) максимума функции z= f(x,y). Неравенство

f(х,у) <f(х₀ ,у₀)

выполняется для всех точек некоторой окрестности точки М_0. В частности, это неравенство выполнено для точек, ординаты которых равны у=у₀ : f(х,у₀) <f(х₀ ,у₀). На прямой у=у₀ функция z= f(x,y) становится функцией одной переменной z= f(x,y₀).

И

у₀+у

з неравенства f(х,у₀) <f(х₀ ,у₀) следует, что функция одной переменной z= f(x,y₀) имеет в точке х₀ экстремум (максимум). Поскольку эта функция в точке х = х₀ имеет производную, то на основании необходимого признака экстремума функции одной переменной заключаем, что .

Полагая, что х = х₀, точно так же докажем, что .

В точках, где существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.

Экстремум следует искать либо в стационарных точках, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных не существует. Такие точки называются критическими. В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. В общем случае о наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточного признака экстремума.

1.12. Достаточный признак экстремума

Теорема. Пусть функция z= f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М₀ (х₀ ,у₀), а сама точка М₀ является критической:

;

Обозначим:

.

Тогда:

1. Если число = >0, то точке М₀ (х₀ ,у₀) функция f(х,у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

2. Если число = <0, то точке М₀ (х₀ ,у₀) экстремума нет.

3. Если число = =0, то признак не применим, поскольку использовавшегося при его доказательстве дифференциала второго порядка оказалось недостаточно для того, чтобы сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума.

Пример 14. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение: Имеем, , . Найдем точки возможного экстремума. Решение системы

дает две точки возможного экстремума : М₁(0,0) и М₂(3,3).

Найдем частные производные второго порядка: . В точке М₁(0,0) имеем <0 , что указывает на отсутствие экстремума в данной точке. В точке М₂(3,3) имеем >0. Поскольку >0, то в точке имеется минимум.