2.6. Вычисление площадей плоских фигур

Если положить в двойном интеграле f(x; y) = 1, то получится объем прямого цилиндра с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

или, в полярных координатах

Пример 20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: Область D удобно рассматривать как правильную относительно оси . Для нахождения пределов внешнего интегрирования по выразим как функции из уравнений обоих линий и приравняем эти функции:

, .

Корни уравнения и укажут нижний и верхний пределы внешнего интегрирования. Граница области D будет определяться неравенствами

Пример 21. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: Область D, ограниченная линиями ,

, указана на рис. 13.

Для нахождения пределов внешнего интегрирования по приравняем , выраженное из уравнений ограничивающих линий: . Отсюда , а .

Площадь области D равна

2.7. Вычисление площадей поверхностей

Пусть в области задана поверхность , имеющая уравнение . Для вычисления площади поверхности разобьем область на частей. Рассмотрим -тый участок разбиения, имеющий площадь . Внутри каждого участка выберем произвольную точку и посчитаем значение функции в этой точке . Построим точку , лежащую на поверхности . Обозначим через участки поверхности , проецирующиеся в элементарные участки . Тогда площадь поверхности можно вычислить как сумму площадей элементарных участков

.

Каждый элементарный участок поверхности площадью приближенно заменим участком касательной плоскости, касающейся нашей поверхности в точке . Из аналитической геометрии площади участков касательной плоскости равны , где -угол между осью и вектором нормали к поверхности . Площадь поверхности приближенно равна

.

Вектор нормали , построенный в точке поверхности , имеет проекции , а

.

Тогда площадь поверхности приближенно равна

.

Рассмотрим предел полученной интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений . Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения, то он соответствует площади поверхности

.

Пример 22. Найти площадь поверхности, которую вырезает цилиндрическая поверхность из верхней полусферы .

Решение: Вычислим частные производные функции

: , .

Областью будут являться точки круга , расположенного на плоскости . Тогда площадь поверхности будет выражаться интегралом

Переходя к полярным координатам и , получаем

2.8. Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно начала координат называется произведение массы на квадрат расстояния материальной точки до начала координат, т. е. . Момент инерции плоской фигуры, имеющей поверхностную плотность масс , относительно начала координат может быть вычислен по формуле:

Пример 23. Найти момент инерции относительно начала координат фигуры, расположенной в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (рис. 14). Поверхностная плотность пластины .

Решение: Находим момент инерции

.