4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
Вычисление криволинейного интеграла II рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла.
Если кривая АВ задана параметрическим образом
где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производными x'(t) и y'(t) на отрезке [α; β]. Начальной точке А кривой соответствует значение параметра t=α, а конечной точке В соответствует значение t=β. И пусть функция Р(х;у) непрерывна на кривой АВ. Согласно определению
Перейдем
в интегральной сумме к переменной t.
Поскольку
,
то по
формуле Лагранжа имеем: Δxi=x′(ci)Δti
,
где
,
.
Выберем
точку
так, чтобы
,
.
Тогда преобразованная
интегральная сумма
будет интегральной суммой для сложной функции одной переменной P(x(t); y(t))∙x'(t) на промежутке [α; β], предел которой будет соответствовать определенному интегралу по переменной
.
По аналогии получим:
Криволинейный интеграл II рода общего вида в случае параметрического задания кривой будет сводиться к интегралу
Пример
30..
Вычислить
где L
– отрезок прямой на плоскости Оху
от точки А(1;
0) до точки В(3;
1).
Решение:
Составим уравнение прямой, проходящей
через точки А
и В:
или в параметрической форме:
.
При перемещении от точки А к точке В параметр t непрерывным образом меняется от 0 до 1. Тогда находим, что
Пример 31. Вычислить криволинейный интеграл
вдоль
эллипса
:
,
.
Решение:
Кривая задана в параметрическом виде.
Перейдем к переменной
,
используя
,
Если кривая АВ задана уравнением у = φ(х), х [а; b], где функция φ(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [а;b], то из формулы
,
формально приняв х в качестве параметра , имеем:
Пример
32.
Вычислить
где L
- ломаная OAB,
O(0,
0), A(2,
0), B(4,
2).
Решение:
Так как L=OAB=OA
+ AB,
то
Поскольку
уравнение отрезка ОА
есть y
= 0 при
,
уравнение отрезка АВ:
у
= х – 2
при
,
то имеем:
Пример
33.
Вычислить
вдоль кривой
при перемещении от точки О(0,0)
до точки A(2,2).
Решение: Используя , dy=2xdx, имеем
.
4.3. Формула Грина
Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L области D устанавливает формула Грина. Сформулируем и докажем соответствующую теорему.
Пусть на плоскости Оху задана область D,правильная относительно оси .
Теорема.
Если функции Р(х,у)
и Q(x,у)
непрерывны вместе со своими частными
производными
в области D,
то имеет место формула Грина
где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).
Доказательство.
Пусть
–
уравнение
дуги АпВ,
а
–уравнение
дуги АтВ
(рис.
25). Рассмотрим двойной интеграл
По правилу вычисления двойного
интеграла, имеем:
Последние два определенных интеграла можно преобразовать к криволинейным интегралам:
Аналогично доказывается, что
Вычитая
из равенства
равенство
,
получим
формулу
Грина.
Формула Грина справедлива для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Пример 34. С помощью формулы Грина вычислить
где L – контур прямоугольника с вершинами А (3;2), B(6; 2), С(6; 4), D(3;4).
Решение: На рисунке 26 изображен контур интегрирования. Поскольку
по формуле Грина имеем:
