Воронежский государственный технический

университет

В.В. Горбунов О.А. Соколова

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Часть 4

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2006

УДК 517.2

Горбунов В.В., Соколова О.А. Начала математического анализа. Ч. 4: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2006. 113 с.

В учебном пособии излагаются элементы теории функции нескольких переменных, кратных интегралов, криволинейных и поверхностных интегралов. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 6151000 «Конструкторско-технологическое обеспечение автоматизированных машиностроительных производств», специальности 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», дисциплине «Математика».

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word и содержится в файле

“МатАн4.doc”.

Ил. 36. Библиогр.: 6 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат.наук, проф. В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра естественно-научных дисциплин

Международного института компьютерных

технологий (зав. кафедрой канд. техн. наук,

доц. С.П. Попов);

д-р физ. -мат.наук, проф. В.А. Родин

• Горбунов В.В., Соколова О.А., 2006

• Оформление. ГОЧВПО «Воронежский государственный технический университет», 2006

ВВЕДЕНИЕ

_{Современное машиностроительное производство предполагает наличие высокоразвитой системы технологического обеспечения. Компьютеризация конструкторско-технологической подготовки требует наличие хорошей математической подготовки.}

_{Данное пособие продолжает серию пособий по высшей математике и посвящено изучению следующих разделов: двойные интегралы, тройные интегралы, криволинейные интегралы, поверхностные интегралы с элементами теории поля.}

_{Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.}

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 657800 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», специальности 120200 «Металлообрабатывающие станки и комплексы».

1.Функции нескольких переменных

1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения

Говорят, что определена функция z = f (x,y) двух переменных х,у , если каждой паре значений независимых переменных (аргументов) х,у из области D по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение переменной z из множества Z. Область D называется областью определения функции z, а множество Z - множеством значений функции. Поскольку каждой паре чисел х,у на плоскости Оху можно поставить в соответствие точку М (х,у), то функцию двух переменных рассматривают как функцию точки М из некоторой области D плоскости Оху .

Точка называется внутренней точкой множества D, если у этой точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества. Точка называется граничной точкой множества D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие множеству D, так и точки ему не принадлежащие. Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей. Множество D называется замкнутым , если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Множество D точек плоскости Оху называется областью, если: во-первых, множество D является открытым, т.е. состоит только из внутренних точек, во-вторых, множество D является односвязным, т. е. любые две внутренние точки множества должны соединяться непрерывной линией, целиком принадлежащей области.

Функция двух переменных имеет простую геометрическую интерпретацию. Возьмем пространственную декартову систему координат. Для произвольной точки М (х,у) в области D вычислим соответствующее значение функции z = f (х,у). Множество точек P(x,y,z) образует некоторую поверхность с уравнением z = f(х,у). Таким образом, геометрической интерпретацией функции двух переменных является поверхность (Рис 1.), аппликата каждой точки которой вычисляется по закону z =f(х,у). Например, для функции геометрическим образом является верхняя полусфера. Область определения данной функции определяется неравенством или .

Существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на построении сечений поверхности z = f (х,у) плоскостями , где с - любое число. Линией уровня называется множество точек плоскости Оху, в которых функция принимает одно и тоже значение с. Множество линий уровня дает представление о поверхности подобно тому, как в картографии линии уровня описывают рельеф местности. Все сказанное об определении функции двух переменных легко распространяется на случай функции большего числа переменных. Геометрическая интерпретация функции в этом случае отсутствует.