15 Вариант

1. Бросают две игральных кости. Событие A - выпадение единицы на первой кости, событие B - выпадение двойки на второй кости. Вычислить вероятность P(A+ B) .

2. Прибор состоит из трех последовательно включенных узлов. Вероятности отказа первого, второго и третьего узлов равны 0.2, 0.3 и 0.1. Найти вероятность того, что за время испытаний откажет ровно один узел прибора.

3. Полиномиальная схема.

4. Система запрашивает передачу некоторого сигнала три раза подряд. Вероятность правильного приема системой этого сигнала при первой, второй и третьей передачи соответственно равны 0.9, 0.7, и 0.5. Найти вероятность того, что система правильно примет сигнал два раза.

5. Случайная величина Xраспределена по непрерывному закону с плотностью распределения p_X(x) = x / 2, 0 ≤ x ≤ 2. Найти квантиль случайной величины Xна уровне p =1/ 2 .

6. Напишите формулу вычисления ковариации для дискретных случайных величин.

7. Случайный вектор (X ,Y )распределен равномерно внутри квадрата{0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}. Найти математическое ожидание M (X +Y) .

8. По данному статистическом ряду

xi	-2	-1	0	1	2	3	4
ni	3	2	2	3	1	2	1

x .

найдите выборочную медиану. Здесь _i n - число наблюдений, равных _i

~_{параметра θ .}

9. Дайте определение состоятельности оценки θ _n

10. При 180 бросаниях игральной кости шестерка выпала 36 раз. По критерию Пирсона проверить согласие этого результата с утверждением, что кость правильная? Принять уровень значимости α = 0,05(3.84 ²

χ _0,95;1 =).

16 Вариант

1. Укажите основные свойства операций над событиями.

2. Игральная кость подбрасывается один раз. Рассматриваются три события: A - выпадет четное число очков, B - число очков кратно пяти, С - число очков больше трех. Будут ли эти три события независимыми попарно и в совокупности? Результат обосновать.

3. Даны вероятности _i pбезотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

1 2 3

5

⁴76

4. Обобщенная схема независимых испытаний Бернулли с различными вероятностями появления события в одном испытании.

5. Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,8. Найти вероятность того, что при четырехкратной передаче сигнал будет принят ровно 1 раз.

6. Случайная величина Xраспределена по закону, определяемому таблицей

x i	–2	0	2
i p	3/5	1/5	1/5

Найти коэффициент корреляции между случайными величинами Xи ² X . 7. Сформулировать теорему Бернулли как следствие из закона больших чисел.

8. Вычислить выборочную квантиль на уровне p =1/ 4для выборки: 2, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 5.

9. Напишите формулу вычисления доверительного интервала для параметра ² σс доверительной вероятностью γдля выборки объема n, полученной из нормального распределения ( , )² N m σ , при известной величине m.

^~по

10. Сформулировать метод максимального правдоподобия для поиска точечной оценки θ _n выборке объема n, полученной из дискретного распределения, зависящего от одного параметра θ .