5 Вариант
1. Напишите теоремы сложения и умножения вероятностей для трех событий.
2. Событие Aсостоит в том, что студент Иванов сдал первый экзамен, событие B - что второй.
Событие A⋅ Bсостоит в том, что студент Иванов сдал:
а) оба экзамена б) ровно один экзамен в) ни одного экзамена
3. В доме 10 этажей. В лифт на первом этаже заходят три человека. Найти вероятность того, что двое из них выйдут на седьмом этаже.
4. Известна функция распределения дискретной случайной величины X: 0, 3
⎪⎪⎨⎧
x
≤ −
0.2, 3 2
− < ≤ −
x
F x X. Чему равна вероятность события A = {− 2 ≤ X < 2}
( )
=
⎪⎪⎩
0.4, 2 0 − < ≤
x
1, 0
x
>
5. Напишите формулы вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром p .
6. Пусть случайная величина Xимеет нормальное распределение с параметрами и 2 σ. Какими должны быть параметры aи b, чтобы случайная величина a(X − b)подчинялась стандартному нормальному закону с параметрами 0 и 1?
7. Даны две независимые случайные величины Xи Yс характеристиками: mX = 3, mY = −1, σ X = 2 , σ Y =1/ 2 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = −2X + 4Y .
8. Найдите оценку снизу вероятности события A = {2.5 ≤ X < 4}, используя неравенство Чебышева, если MX =1, DX = 0.5.
9. Пусть по выборке объема n = 20была получена выборочная дисперсия 2019 Dв=. Найдите оценку несмещенной дисперсии 2
Sдля данной выборки.
10. Вычислить выборочную медиану для выборки: 4, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 0, 2, 4.
6 Вариант
1. Игральную кость подбрасывают два раза. Событие A – первая выпавшая цифра «6», событие B –выпала сумма очков, равная 8. Являются ли событияAи Bнесовместными и/или независимыми.
2. Даны вероятности i pбезотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.
1
2
3
4
6
5
7
3. Формула Байеса.
4. На АТС могут поступать вызовы трех типов. Вероятности поступления вызовов 1-го, 2-го и 3- го типа соответственно равны 0,2; 0,3 и 0,5. Поступило пять вызовов. Найти вероятность того, что поступило по два вызова 1-го и 2-го типа и один вызов 3-го типа.
5. Непрерывная случайная величина Xзадана плотностью распределения вероятностей 0, 1,
⎪⎨⎧
( )3
x
≤
p x X
=
⎪⎩
ax x
, 1 2,
< <
0, 2.
x
≥
Найти математическое ожидание данной случайной величины.
6. Случайная величина Xзадана рядом распределения:
-
x
i
1
2
4
6
i p
0,1
0,4
0,3
0,2
Найти вероятность события A = {X ≥ 3}. Оценить эту вероятность по первому неравенству Чебышева (неравенство Маркова).
7. Если две случайные величины Xи Yсвязаны линейной зависимостью Y = 2X +3, то их коэффициент корреляции будет равен…
8. Дана выборка (5, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 1, 3, 4, 8, 9, 10, 4, 2, 5, 1, 0, 2, 6). Построить вариационный и статистический ряды для этой выборки и найти ее выборочную медиану.
9. Найти оценку методом моментов параметра θпо выборке объема n, полученной из равномерного распределения R(0, θ ), используя 2-й начальный момент.
10. Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы 0 0 H : m ≥ mпротив альтернативы 1 0 H : m < mна уровне значимости αдля выборки объема n, полученной из нормально распределенной генеральной совокупности с известной дисперсией 2 σ .