7 Вариант

1. Условная вероятность.

2. Даны вероятности _i pбезотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

1 2 3 4 5

6 7

3. В урне содержится 20 шаров, среди которых 4 белых, остальные – черные. Один шар неизвестно какой был утерян. Найти вероятность вытянуть белый шар до того, как был утерян один шар и после этого.

4. Укажите основные свойства дисперсии случайной величины.

5. Дискретная случайная величина ξзадана распределением

i x	1	2	4	6	8
i p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Найти [ ]. ² M ξ

6. Случайные величины Xи Yнезависимы и имеют распределения R(0, 2)и Ex(4) соответственно. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X +Y .

7. Сформулируйте центральную предельную теорему.

8. Пусть дана выборка (5, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 1, 3, 4, 7, 8, 7, 4, 2, 5, 1, 0, 2, 6, 2, 4). Построить вариационный и статистический ряды для этой выборки, а также гистограмму относительных частот.

9. Среднее значение выборки объема 30, полученной из генеральной совокупности X, имеющей нормальное распределение ( , )² N m σ, равно 500. Оценка дисперсии 100 ²

S =. Построить 99%-

ный доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности X( t_0,995 (29) = 2,75).

10. Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы _{0 0} H : m < mпротив альтернативы _{1 0} H : m ≥ mна уровне значимости αдля выборки объема n, полученной из нормально распределенной генеральной совокупности с известной дисперсией ² σ .

8 Вариант

1. Дайте определение алгебры событий.

2. Из колоды в 36 карт случайным образом вынимают одну карту. Рассматриваются события: A - вынута карта красной масти, B - был вынут туз. Являются ли события Aи Bзависимыми? Ответ обосновать.

3. Даны вероятности _i pбезотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

1 2 3 4

5 6

4. Корректура в 500 страниц содержит 2000 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице и вероятность этого числа.

_⎜^⎜_⎝^⎛₋−

2 1

^{5. Дана ковариационная матрица} _⎟^⎟_⎠⎞

K^{двух случайных величин Xи Y. Найти}

⁼1 3

дисперсию случайной величины Z = 3X − 2Y .

6. Если случайные величины Xи Yнезависимы и распределены равномерно в интервале (–1;1), то в каком интервале плотность распределения композиции этих случайных величин отлична от нуля?

7. Дайте определение сходимости последовательности случайных величин по вероятности.

8. Найти оценку методом моментов параметра θпо выборке объема n, полученной из распределения Пуассона с параметром λ =1/θ, используя теоретическую дисперсию.

9. Дайте определение уровня значимости и мощности критерия.

10. Сформулируйте критерий проверки параметрической гипотезы _{0 0} H : m = mпротив альтернативы _{1 0} H : m ≠ mна уровне значимости αдля выборки объема n, полученной из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией.