11 Вариант

1. Запишите теоремы сложения и умножения вероятностей для двух событий.

2. Даны вероятности _i pбезотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

1 2

6

3 ⁴7

5

3. 12 деталей, среди которых 3 шестеренки, 5 конденсаторов и 4 шарика распределяются случайным образом в три ящика так, чтобы в каждый ящик попало бы одинаковое число деталей. Какова вероятность того, что в каждом ящике находится по одной шестеренке?

4. Напишите формулу Пуассона и укажите смысл входящих в нее параметров.

5. Случайные величины Xи Yнезависимы и распределены: Xпо закону R(−1,5) , Y – по закону с плотностью p y y _Y( ) = 2 − 2 , y ∈[0, 1]. Вычислить M (XY + 2X + 3Y).

6. Случайная величина Xполучена в результате суммирования 300 независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же равномерному закону на отрезке [0, 0.4]. Найдите дисперсию случайной величины X .

7. По результатам наблюдений, сведенным в таблицу

xi	1	2	5	8
ni	10	25	10	5

x .

найдите несмещенную оценку S²для дисперсии σ². Здесь _i n - число наблюдений, равных _i ~_{неизвестного параметра θ .}

8. Сформулируйте свойство эффективности оценки θ _n

9. По выборке объема n =17из нормального распределения ( , )² N m σполучены значения 4

2

S = ,

X = 2,2.Найти доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности с ² χ_16;0.975 =)

доверительной вероятностью γ = 0,95.(28.8

10. Напишите формулу вычисления статистики критерия ²

χПирсона.

12 Вариант

1. Упростить A+ B + A + B + A+ B + AB

2. Из урны, содержащей 10 белых и 8 черных шаров наудачу отобрали 3 шара. Рассматриваются события: A={появится один черный шар}, B={появится хотя бы один белый шар}. Найти вероятность P(A| B).

3. Написать формулу Бернулли и пояснить смысл входящих в нее параметров.

4. Две радиостанции передают сигналы, 1-ая вдвое чаще, чем 2-ая. Вероятности приёма их сигналов соответственно равны 0,6 и 0,8. Известно, что сигнал принят. Какова вероятность того, что он передан станцией №1.

5. Напишите формулу вычисления математического ожидания случайной величины X, если известна совместная плотность распределения p (X, y) xYслучайного вектора (X ,y ).

6. Случайные величины Xи Yнезависимы и распределены: Xпо закону R(0,6), Y – по показательному закону с параметром λ =1/3. Вычислить D(2X − Y),

7. По результатам наблюдений, сведенным в таблицу

xi	1	3	5	7
ni	10	25	10	5

x .

найдите выборочное среднее. Здесь _i n - число наблюдений, равных _i

8. Сформулируйте метод моментов получения точечных оценок.

9. По выборке объема n = 25со средним значением x = 9.5, полученной из нормального ² σ = , на уровне значимости α = 0.05проверить

распределения с известной дисперсией 1

гипотезу H₀:m =10при альтернативе H₁:m ≠ 10 . (U_0.975 =1.96)

10. Сколько степеней свободы нужно взять для квантили распределения ²

χпри проверке

гипотезы по критерию Пирсона о том, что выборка, сгруппированная на 6 интервалов, была получена из гипотетического распределения с двумя неизвестными параметрами?