13 Вариант

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 наудачу с возвращением составляется пятизначное число. Найти вероятность P(A| B), если события A= {число будет нечетным}, B= {цифры 1 и 2 не появились}.

2. В урне содержится 4 белых, 3 красных и 3 черных шара. Производится извлечение пяти шаров без возвращения. Найти вероятность того, что в результате извлечений появилось 3 белых шара и по одному остальных цветов.

3. По каналу связи передается 2000 знаков, каждый из которых, независимо от других, может быть искажен с вероятностью 0,001. Найти вероятность того, что будет искажено не более двух знаков.

4. Укажите основные свойства математического ожидания случайной величины. 5. Случайные величины Xи Yнезависимы и известны их одномерные законы распределения:

X:	0	1	2	3
	0,2	0,5	0,1	0,2

Найти вероятность события X +Y > 2.

Y:	–1	0	1
	0,3	0,5	0,2

6. Случайные величины Xи Yимеют совместную плотность распределения _{( , )}с x y

_⎩⎨⎧ + ≤ ≤ ≤ ≤

p x y _XY

( ), если 0 x 2, 0 y 2; ⁼0, в остальных случаях.

Найти константу cи математическое ожидание случайной величины Z = XY .

7. Складываются 200 независимых и одинаково распределенных случайных величин по показательному закону с параметром λ = 5. Используя предельную теорему, найти плотность распределения этой суммы.

8. По результатам наблюдений, сведенным в таблицу

xi	1	3	8
ni	10	4	1

x .

найдите выборочную дисперсию. Здесь _i n - число наблюдений, равных _i

9. Найти оценку методом моментов параметра θпо выборке объема n, полученной из биномиального распределения Bi(1, θ), используя 2-й начальный момент.

~_{неизвестного параметра θ, полученная методом}

10. Какими свойствами обладает оценка θ _n

максимального правдоподобия?

14 Вариант

1. Найти случайное событие Xиз равенства: X + A + X + A = Ω .

2. Даны вероятности _i pбезотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

2 3

1 5

6

4 7

3. В группе из 25 студентов 20 человек изучают английский язык, 10 – изучают немецкий и 7 – изучают оба языка. Найти вероятность того, что выбранный наудачу студент изучает только один из языков.

4. Напишите общую формулу вычисления коэффициента асимметрии случайной величины. 5. Укажите основные свойства ковариации двух случайных величин.

6. Случайный вектор (X,Y)распределен равномерно внутри области

G = {(x, y) :x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0}. Найти математическое ожидание случайной величины Z = XY .

7. Случайная величина Xимеет характеристики: = 2 m_X, = 1/ 2 σ _X. Оценить сверху по неравенству Чебышева вероятность события X ≥ 3.

8. Вычислить выборочное среднее для выборки: 5, 2, 4, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 4.

9. Чему равны математическое ожидание и дисперсия выборочного среднего для выборки объема n, полученной из нормального распределения с параметрами: m = −1, σ = 0.5?

10. По выборке объема n = 16, полученной из нормального распределения N(m,4), было найдено X = 2,2.Построить доверительный интервал для параметра mс доверительной вероятностью γ = 0,95.(U_0.975 =1.96)