19 Вариант

1. Дайте определение несовместности и независимости двух событий. Можно ли считать, что эти понятия пересекаются.

2. Из букв О,О,О,М,Л,К разрезной азбуки выбирают наудачу по одной и ставят в ряд. Найти вероятность того, что получится слово “молоко”.

3. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что третье орудие попало, если вероятности попадания в цель 1-м, 2-м и 3-м орудиями соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9.

4. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Случайная величина Xхарактеризует число произведенных выстрелов. Найдите математическое ожидание случайной величины X .

5. Укажите основные свойства дисперсии случайной величины X .

0 0

⎧ ^⎪⎪

,

2

x

≤

6. Задана функция распределения F x _ξ( )

=

^xx

₄0 2

⎨

,

< <

^⎪⎪

1 2 , .

⎩

x

>

Найти математическое ожидание случайной величины ² η = ξ .

7. Сформулировать теорему Пуассона как следствие из закона больших чисел.

8. По данному группированному статистическому ряду найти выборочное среднее:

(x ; x ) i−1 i	(-∞; 5)	(5; 7)	(7; 9)	(9; 11)	(11; ∞)
ni	10	20	120	40	10

( ,..., )_n

x x – выборка из нормального распределения N(θ, 2θ), где θ - математическое

9. Пусть ₁

ожидание, а 2θ – дисперсия. Найти оценку параметра θметодом моментов, используя второй начальный момент.

10. По выборке объема n =16из нормального распределения N(m,1)получено значение X = 2,2.Найти доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности с ² χ_16;0.975 =)

доверительной вероятностью γ = 0,95.(28.8

20 Вариант

1. Дать статистическое определение вероятности события.

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность P(A| B), если события A ={все выпавшие числа четные}, B ={выпала одна шестерка}.

3. Прибор состоит из трех узлов, вероятности отказа которых равны: 0.1, 0.15 и 0.2. Для работы прибора достаточно, чтобы работал только один из его узлов. За время испытаний прибора был зафиксирован его отказ. Найти вероятность того, что при этом отказали только 1-й и 3-й узлы.

4. Случайная величина Xраспределена равномерно на интервале [−1, 1]. Определите, чему равна квантиль уровня 0.9 этой случайной величины.

5. Напишите функцию распределения показательного закона с параметром λ = 4.

6. Найти вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины Xна отрезке [1,7]на множество | X − m_X|<1.

1 3

^{7. Дана ковариационная матрица} _⎟^⎟_⎠⎞

_⎜^⎜_⎝⎛

K^{двух случайных величин Xи Y. Найти дисперсию}

⁼3 4

случайной величины Z = 4X −Y .

8. По данной таблице построить гистограмму частот, найти выборочное среднее и выборочную медиану.

( ; ) i 1 i x x −	(−∞;1]	(1, 3]	(3, 5]	(5, 7]	(7; 9]	(9;∞)
i n	10	25	20	30	10	5

(_i n – число наблюдений, попавших в интервал ( , ) _{i 1 i}

x x ₋).

9. Напишите формулу несмещенной оценки дисперсии для выборки объема n .

10. По результатам 100 измерений диаметра покрышки прибором, не имеющим систематических ошибок, было получено X =10.2. Найти 95%-ный доверительный интервал для математического ожидания (считать, что выборка получена из нормальной совокупности с ² σ =). (U_0.975 =1.96)

известной дисперсией 4