23 Вариант

1. Формула сложения вероятностей для произвольных nсобытий.

2. Найти вероятность того, что в группе из 10 студентов трое родилось в сентябре.

3. Наудачу из десяти цифр от 0 до 9 составляется семизначный номер телефона. Найти вероятность P(A| B), если A ={номер содержит только четные цифры}, B ={номер не содержит цифр 1 и 2}.

4. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных за время эксплуатации выходит из строя с вероятностью ⁴

5 10⁻

⋅. Найти вероятность того, что за время

эксплуатации откажет хотя бы один элемент.

5. Даны две независимые случайные величины Xи Y, причем Xраспределена по показательному закону с параметром λ =1/3, а Yраспределена по нормальному закону с параметрами m = −2, σ = 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = X −Y .

6. Сформулировать закон больших чисел в форме Чебышева для последовательности случайных величин, имеющих различные распределения.

7. Пусть ξ ξ ξ _n

, ,..., _{1 2}– независимые случайные величины с распределением N(0,1). Какое n

^{распределение имеет случайная величина} ∑

η ξ?

=

k

=

k

1

8. Чему равны математическое ожидание и дисперсия выборочного среднего для выборки объема n, полученной из показательного распределения с параметром λ =1/ 2?

9. Наблюдавшиеся значения генеральной совокупности Xоказались равными 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10, 3, 2, 1, 1, 2, 3. Построить статистический ряд этой выборки и найти выборочную медиану.

10. По выборке объема n =100, полученной из нормального распределения с известной ² σ =, на уровне значимости α = 0.05проверить гипотезу H₀:m = 5при

дисперсией 1

альтернативе H₁:m ≠ 5, если выборочное среднее x = 4.7. Квантиль U_0.975 =1.96 .

24 Вариант

1. На отрезке [0, 2] наудачу взяты два числа xи y. Найти вероятность того, что их сумма больше или равна 1/2.

2. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 наудачу с возвращением составляется пятизначное число. Найти вероятность P(A| B), если события A= {число будет нечетным}, B= {цифры 1 и 2 не появились}.

3. По каналу связи передается цифровой текст, состоящий из 100 символов. В силу наличия помех каждый символ может быть неправильно принят с вероятностью 0.02. Найти вероятность того, что в принятом тексте будет ровно 3 ошибки.

4. С.в. Xраспределена по показательному закону с параметром λ =1/ 2. Найти плотность распределения случайной величины Y =| X − 2 |.

5. Напишите общую формулу вычисления центрального момента порядка k + lдля дискретного двумерного случайного вектора.

6. Случайная величина ξраспределена равномерно на интервале [–3; 3]. Найти вероятность события A = {| ξ |< 2}. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность этого события.

7. Сформулируйте центральную предельную теорему для одинаково распределенных случайных величин.

8. Наблюдавшиеся значения генеральной совокупности Xоказались равными 1, 3, 5, 4, 2, 1, 4, 3, 5, 0, 7, 5, 2, 10, 12, 3, 5, 6, 9, 8, 7, 11. Построить статистический ряд этой выборки. Найти выборочное среднее.

~_{параметра θ .}

9. Дайте определение несмещенности оценки θ _n

10. Найти 90%-ный доверительный интервал для математического ожидания по выборке, полученной из нормально распределенной генеральной совокупности: n =101, x =18 , 16 ²

s =. (

U_0.95 =1.645)