21 Вариант

1. Дать геометрическое определение вероятности события.

2. Два одинаковых листа бумаги размещаются случайно и независимо друг от друга по четырем ящикам одной тумбы. Каждый лист равновероятно попадает в любой из ящиков. Найти вероятность того, что листы бумаги окажутся в соседних ящиках.

3. Пусть любой символ сообщения при передаче его по каналу связи может быть искажен независимо от других символов с вероятностью p = 0.001. Какова вероятность того, что при передаче 5000 символов будет искажено не менее двух символов?

4. Случайная величина ξзадана своим рядом распределения:

x i	–2	–1	0	1
i p	0,1	0,4	0,2	0,3

Найти функцию распределения случайной величины η = 2ξ +1.

5. Напишите формулу вычисления математического ожидания случайной величины X, если известна таблица распределения дискретного случайного вектора (X ,Y ).

6. Случайные величины Xи Yнезависимы и распределены по следующим законам: Xпо закону R(1, 3), Yпо нормальному закону N(1, 4). Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + Y .

7. Найдите оценку снизу вероятности события A = {− 3 ≤ X < 6}, используя неравенство Чебышева, если MX = 2, DX = 3.

8. Пусть дана выборка: 15, 16, 17, 16, 15, 18, 18, 16, 19, 20, 15, 16, 17, 18, 19, 19. Найдите выборочное среднее и выборочную медиану для данной выборки.

_~ 3

9. Будет ли состоятельной оценка a_n X

=параметра aраспределения, заданного плотностью

8

распределения вероятностей

_{f x}ax x

_{ξ( )}^,, ,

₌≤ ≤

^⎧⎨_⎩0 2

0 0 2^.

x x

< >

10. По нормальной выборке объема nвычислены выборочное среднее Xи оценка дисперсии 2

S

и построена интервальная оценка для математического ожидания mс доверительным уровнем γ. В каком случае длина интервала больше: при n =100или n = 200(считать, что значения X ,² S ,γнеизменны)? Ответ обосновать.

22 Вариант

1. Дать классическое определение вероятности события.

2. Даны вероятности _i pбезотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

1 2

4 5

₃ 6

7

3. 18 Команд, среди которых три лидера, случайным образом разбиваются на три подгруппы (по 6 команд в каждой). Найти вероятность того, что в каждой подгруппе будет по одному лидеру.

4. Телеграфная станция передает текст, состоящий из 350 знаков. В силу наличия помех каждый знак может быть неправильно принят с вероятностью 0,01. Найти наиболее вероятное число неправильно принятых знаков и вероятность этого числа.

5. Случайная величина Xраспределена равномерно на отрезке [1, 5]. Найти ковариацию случайных величин Xи ² Y = X .

6. Случайная величина Xзадана законом распределения:

x i	–2	–1	0	1	2
i p	0,1	0,1	0,2	0,2	0,4

Найти вероятность события A ={| X − MX |< 0.5}. Оценить эту вероятность по неравенству Чебышева.

7. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным 3?

8. По таблице наблюдений построить гистограмму относительных частот, вычислить выборочное среднее и моду. (_i

z – середины интервалов группировки)

z i	5,4	5,6	5,8	6	6,2	6,4	6,6
i n	20	35	50	60	20	5	10

x x – выборка из распределения Пуассона с параметром θ / 2. Найти оценку ( ,..., )_n

9. Пусть ₁

параметра θметодом моментов, используя дисперсию.

10. Напишите формулу вычисления доверительного интервала для параметра ² σс доверительной вероятностью γдля выборки объема n, полученной из нормального распределения ( , )² N m σ, при неизвестной величине m.