8. Дать определение ортонормированного базиса и конкретизировать его для случая дискретных сигналов.

Для начало стоить напомнить, то сигналы ортогональны тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Ортонорминованная система образует ортогональный базис тогда, когда любой сигнал может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации базисных сигналов:

Если S – евклидовое пространство вещественных сигналов, тогда всегда существует ортогональный базис, который может быть КОНЕЧНЫМ или БЕСКОНЕЧНЫМ (по количеству базисных сигналов), то есть в дискретных сигналах базис, состоящий из n сигналов, называется конечномерным, а если n=> бексонечности, тогда он называется бесконечномерным

В случае непрерывных (аналоговых) сигналов, существование ортогонального базиса впервые доказал Котельников В.А.

В честь него и был назван данный базис — базис Котельникова

9. Привести общее выражение для разложения сигнала по ортонормированному базису и конкретизировать это выражение для случая непрерывных сигналов.

Выражение для разложения сигнала по ортонормированному базису:

(1)

Или так (одно и то же):

- данное выражение является обобщенным рядом Фурье. (2)

Разложим произвольный сигнал s(t) в ряд:

Возьмем базисную функцию Uk с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (2) и проинтегрируем во времени:

Этот базис можно использовать для НЕПРЕРЫВНЫХ сигналов с помощью системы гармонических функций:

10. Привести общее выражение для разложения сигнала по ортонормированному базису и конкретизировать это выражение для случая дискретных сигналов.

Выражение для разложения сигнала по ортонормированному базису:

(1)

Или так (одно и то же):

- данное выражение является обобщенным рядом Фурье. (2)

Разложим произвольный сигнал s(t) в ряд:

Возьмем базисную функцию Uk с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (2) и проинтегрируем во времени:

Этот базис можно использовать для ДИСКРЕТНЫХ сигналов с помощью системы функций Уолша:

На отрезке своего существования [-T/2, T/2] принимают значения 1 и -1.

Введем безразмерное время и будем обозначать k-ю функцию Уолша как принято: wal(k, .

11. Привести равенство Парсеваля для случая непрерывных сигналов.

Будем понимать под непрерывным сигналом любую, в общем случае комплекснозначную, функцию времени , на некотором вещественном интервале времени

Сигналы s, u называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. : , 0. Система непрерывных сигналов, состоящая из конечного или бесконечного числа сигналов, называется ортогональной, если входящие в нее сигналы попарно ортогональны, т.е. , 0, , и ортонормированной, если кроме этого сигналы ei(t) имеют единичную энергию . Ортонормированная система н образует ортогональный базис, если любой сигнал н s может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации базисных сигналов ek  Eн:

(7)

При этом справедливо классическое равенство Парсеваля

12. Привести равенство Парсеваля для случая дискретных сигналов.

Под дискретным сигналом будем понимать любую, в общем случае комплекснозначную, последовательность на некотором целочисленном интервале времени Напоминание: символ означает «по определению равно»; – поле комплексных чисел; запись A B  означает, что A является подмножеством B или совпадает с B ; запись A B  – то же самое, но совпадение исключается. Часто дискретные сигналы получаются из непрерывных путем их равномерной дискретизации интервалом  R. В дальнейшем предполагается, что  ,  , а все рассматриваемые сигналы имеют конечную энергию, т.е.

( – модуль комплексного числа).

Совершенно аналогично определяются ортонормированный сигнальный базис, разложение по базису, размерность и др. в случае дискретного сигнального пространства д . В частности, формулы (7) и (8) принимают вид

(10)

где дискретный ортонормированный базис.

13. Дать определение пространства непрерывных частотно-ограниченных сигналов.

Пространство непрерывных частотно-ограниченных сигналов: Ограниченность по частоте означает, что спектр сигнала отличен от нуля на некотором конечном интервале и равен нулю вне этого интервала.

14.Что называется базисом Котельникова и какие у него свойства?

Определение базиса Котельникова:

Свойства базиса Котельникова: 1) Возможность восстановить функцию в любой точке, если была соблюдена теорема Котельникова, для этого нужно вычислить коэффициенты от известных значений функции (отсчетов) и найти их для последующих расчетов. 2) Работа в исключительном финитном спектре функции. Базис неприменим к функциям с бесконечным спектром.

15. Привести выражение для разложения сигнала в базисе Котельникова и указать его особенности.

Особенностью базиса Котельникова является то, что коэффициенты s(k) в конечном разложении легко вычисляются, так как смыслу совпадают с дискретными отсчетами сигнала, взятыми через интервал дискретизации  .

16. Привести общее выражение для формирования ансамбля цифровых сигналов по заданному конечному ортонормированному базису и как определяется его размерность.

Формирование ансамбля сигналов, используемых в цифровых системах связи, основано на представлении их в виде линейной комбинации n базисных сигналов определенной формы

где s⁽ⁱ⁾(t) – передаваемый сигнал, отвечающий i-му бинарному сообщению m⁽ⁱ⁾, M – общее число сообщений, называемое размером сигнального ансамбля. Коэффициенты s_i⁽ⁱ⁾ в разложении называются модулирующими символами. Базисные сигналы являются ортонормированными, т.е. удовлетворяющими условию

где — единичная функция Кронекера, а их общее число

n — размерность сигнала.

17. Дать понятие сигнального созвездия и привести формулы для его нахождения.

18. Записать выражение для ансамбля двухмерных QAM сигналов.

19. Записать ортонормированный базис для двухмерного QAM сигнала.

Ортонормированный базис двухмерного QAM сигнала обозначается и состоит из двух функций:

20. Сформулировать критерий Найквиста для формирующего импульса ансамбля QAM сигналов.

Критерий Найквиста для QAM сигнала описывается выражением:

где T – интервал корреляции импульса, M ≥ 2 – размер ансамбля, а энергия описывается уравнением:

21. Нарисовать созвездия 4-QAM, 16-QAM и объяснить какое из них обеспечивает большую помехоустойчивость.

Сигнал 16-QAM менее помехоустойчив, чем 4-QAM, это обусловлено тем, что с ростом индекса модуляции QAM разнесение d0 уменьшается (величина d0 называется евклидовым разнесением точек созвездия).

22. Записать выражение для M-QAM созвездия.

Ансамбль двухмерных QAM сигналов задается формулой:

s⁽ⁱ⁾(t)  g(t)*A_kl*cos(2 f t)  g(t)*A_lQ*sin(2 f t), k,l=1… ,

i=(k-1)* +l – номер сигнала,

M=2L (L≥2) – размер ансамбля,

A_kl , A_lQ  {(2m-1- )d, m=1,2,…, } – информационные амплитуды квадратурных несущих сигнала, принимающие дискретные вещественные значения,

g(t), tR – четный формирующий импульс, удовлетворяющий критерию Найквиста с энергией