15. Привести выражение для разложения сигнала в базисе Котельникова и указать его особенности.

Особенностью базиса Котельникова является то, что коэффициенты s(k) в конечном разложении легко вычисляются, так как смыслу совпадают с дискретными отсчетами сигнала, взятыми через интервал дискретизации  .

16. Привести общее выражение для формирования ансамбля цифровых сигналов по заданному конечному ортонормированному базису и как определяется его размерность.

Формирование ансамбля сигналов, используемых в цифровых системах связи, основано на представлении их в виде линейной комбинации n базисных сигналов определенной формы

где s⁽ⁱ⁾(t) – передаваемый сигнал, отвечающий i-му бинарному сообщению m⁽ⁱ⁾, M – общее число сообщений, называемое размером сигнального ансамбля. Коэффициенты s_i⁽ⁱ⁾ в разложении называются модулирующими символами. Базисные сигналы являются ортонормированными, т.е. удовлетворяющими условию

где — единичная функция Кронекера, а их общее число

n — размерность сигнала.

17. Дать понятие сигнального созвездия и привести формулы для его нахождения.

18. Описать процедуру формирования цифровых сигналов из бинарного сообщения.

19) Записать выражение для ансамбля двухмерных PSK сигналов.

Ансамбль двухмерного PSK сигнала обозначается , где описывается выражением:

При чем, корреляционная функция четного формирующего импульса должна удовлетворять условию Найквиста:

T – интервал корреляции импульса, M  2 – размер ансамбля, называемый индексом PSK модуляции; f_s  k/T , где k – натуральное число.

20) Записать ортонормированный базис для двухмерного PSK сигнала.

Ортонормированный базис состоит из двух функций :

, , E_s у сигналов ансамбля одинакова.

21. Сформулировать критерий Найквиста для формирующего импульса ансамбля psk сигналов.

Ответ:

Критерий Найквиста позволяет судить по АЧХ и ФЧХ об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива, тогда условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0).

Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет в конце концов устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j0), и система потеряет устойчивость.

2) Если известно, что система неустойчива и находится в разомкнутом состоянии, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на n/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где n – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

22. Нарисовать созвездия 2-psk, 4-psk, 8-psk и объяснить какое из них обеспечивает большую помехоустойчивость.

Ответ:

Фазы сигналов принимают значения 0 и :

S0 = cosw1t при передаче 1,

S2 = cosw0t при передаче 0,

2-PSK

Фазы сигналов принимают значения 0, /2, , 3/2:

S0 = cosw0t (I = 1, Q = 0) при передаче 00,

S1 = cos(w0t - /2) (I = 0, Q = 1) при передаче 01,

S2 = cos(w0t - ) = -cosw0t (I = -1, Q = 0) при передаче 11,

S3 = cos(w0t - 3/2) (I = 0, Q = -1) при передаче 10.

4-PSK

Фазы сигналов имеют значения 0, /4, /2, 3/4, , 5/4, 3/2, 7/4:

S0 = cosw0t (I = 1, Q = 0) при передаче 000

S1 = cos(w0t - /4) (I = 0.707, Q = 0.707) при передаче 001

S2 = cos(w0t - /2) (I = 0, Q = 1) при передаче 011

S3 = cos(w0t - 3/4) (I = -0.707, Q = 0.707) при передаче 101

S4 = cos(w0t - ) = -cosw0t (I = -1, Q = 0) при передаче 111

S5 = cos(w0t - 5/4) (I = -0.707, Q = -0.707) при передаче 110

S6 = cos(w0t - 3/2) (I = 0, Q = -1) при передаче 100

S7 =cos(w0t - 7/4) (I = 0.707, Q = -0.707) при передаче 010

8-PSK

Из всех приведенных созвездий наибольшую помехоустойчивость мы получим при использовании 2- PSK. Вероятность ошибки при приёме данных наименьшая (пример: мы имеем сигнал S0, но из за уровня шума у нас будет отклонение на 30^о, при этом мы получим корректное значение S0, при использовании 8-PSK, в данном случае, мы получим некорректное значение выходного сигнала). Однако каждый символ несёт только 1 бит информации, что обуславливает наименьшую в этом методе модуляции скорость передачи информации.