47. На примере otdm систем с формирующим импульсом из семейства приподнятого косинуса показать что равенство 0 с на практике недостижимо.

Спектральная эффективность η OTDM системы зависит не только от емкости канала, но и от эффективности использования частотно-временного ресурса, характеризуемого плотностью упаковки сигнальных символов d_sym. При этом, максимальному значению d_sym=1, а значит и η, соответствует импульс g(t) с прямоугольной спектральной плотностью G_g(f), шириной спектра F=1/2T и коэффициентом β=0, а минимальному значению d_sym=0,5 – импульс с коэффициентом ската β=1. Однако, сформировать импульс g(t) с прямоугольным спектром на практике невозможно. Кроме того, в этом случае имеет очень плохую локализацию во времени, что предъявляет очень высокие требования к системе тактовой синхронизации. Сказанное означает, что равенство η = С недостижимо.

48. Выражение устанавливающее связь отношения сигнал/шум по мощности со спектральной эффективностью и отношением сигнал/шум на бит.

Можно записать следующее выражение для γ:

Где N₀ – значение односторонней СПМ белого шума; – отношение сигнал/шум по мощности на 1 бит; – отношение сигнал/шум по мощности на 1 символ.

49. Выражение устанавливающее связь отношения сигнал/шум по мощности с плотностью упаковки сигнальных символов в частотно-временной области и отношением сигнал/шум на символ.

d_sym–плотность упаковки сигнальных символов в частотно-временной области

 - отношение сигнал/шум

Связь:

Где N0–значение односторонней СПМ белого шума; - отношение сигнал/шум по мощности на 1 символ.

50. Неравенство Шеннона для отношения сигнал/шум на бит и связанная с ним формулировка теоремы Шеннона.

По каналу связи с полосой пропускания F, в котором действует сигнал с мощностью Pc и нормальный белый шум со спектральной плотностью энергии G0, можно предавать информацию со скоростью сколь угодно близкой к пропускной способности канала:

51. С помощью каких характеристик и зависимостей оценивается помехоустойчивость цифровых систем?

1) Для любого префиксного кодирования f и любого источника сообщений hA, Pi избыточность неотрицательна, т. е. Rn(f , P) ≥ 0.

2) Для любого источника сообщений hA, Pi найдётся такое префиксное кодирование f , что r(f , P) = 0.

Доказательство.

Из определений, неравенства Йенсена для функции log t и неравенства Крафта — Макмиллана для произвольного префиксного кодирования f имеем

−Rn(f , P) = X |w|=n P(w)log 1 P(w) − X |w|=n |f (w)|P(w) = = X |w|=n P(w)log 2 −|f (w)| P(w) ≤ X |w|=n log 2−|f (w)| ≤ log 1 = 0

Для любого слова w ∈ A n определим lw = dlog 1 P(w) e. Имеем

X |w|=n 2 −lw ≤ X |w|=n P(w) = 1.

Из неравенства Крафта — Макмиллана следует, что найдётся префиксное кодирование fn : A n → {0, 1} ∗ с длинами кодовых слов |fn(w)| = lw . Определим кодирование f равенством f (w) = 2Bin(|w|)f|w|(w). Cлово f (u) не может быть префиксом f (v) при |u| 6= |v|, из-за того, что 2Bin — префиксное кодирование натурального ряда, а при |u| = |v| = n и u 6= v, из-за того, что fn — префиксное кодирование A n .

|f (w)| = log 1 P(w) + |2Bin(w)| ≤ log 1 P(w) + 2 log |w| + 2, Rn(f , P) ≤ X |w|=n P(w) log 1 P(w) + 2 log |w| + 2 − X |w|=n P(w)log 1 P(w) = X |w|=n P(w)(2 log n + 2)

2Bin(n) = 0 . . . 0 Bin(n)

Следующее кодирование множества N ∪ {0} было предложено В. И. Левенштейном. Введем обозначение λ(n) = |Bin0 (n)| и λ k (n) = λ(λ k−1 (n)), где λ 1 (n) = λ(n). Если λ k (n) = 0 и λ k−1 (n) > 0, то определим

Lev(n) = 1 . . . 1 0Bin0 (λ k−2 (n)). . . Bin0 (λ(n))Bin0 (n)

Кодирование Шеннона

Пронумеруем буквы алфавита так, чтобы P(a1) ≥ P(a2)· · · ≥ P(ak ) > 0. Определим числа σi рекуррентно: σ1 = 0, σi+1 = σi + P(ai) при 1 ≤ i ≤ k. Ясно, что 0 ≤ σi < 1 для любого i = 1, . . . , k. В качестве кодового слова fSh(ai) возьмем dlog 1 P(ai ) e первых после запятой символов в позиционной двоичной записи числа σi .