Е. А. Ровба - Высшая математика

к нулю при n → ∞.

Отметим, что если l = 0, то R = ∞; если же l = ∞, то R = 0.

Теорема 8.15. Если существует предел

!

lim n |cn| = l,

n→∞

то радиус сходимости ряда (8.11) равен 1/l.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 8.14.

Пример 8.9. Найти радиус сходимости и интервал сходимости следующих степенных рядов:

Данный степенной ряд сходится абсолютно на интервале (−1/2, 1/2) .

т.е. ряд сходится на всей числовой прямой (−∞, +∞).

г) Этот ряд имеет вид (8.11). Найдем радиус сходимости по

Это знакочередующийся ряд; по признаку Лейбница он сходится. Таким образом, данный степенной ряд сходится на промежутке [−3, 3).

б) Имеем:

Согласно необходимому условию данный ряд в точках x = ±1 расходится.

Рассмотрим степенной ряд (8.12), интервал сходимости которого (−R, R). На этом интервале ряд имеет сумму. Обозначим ее через f,

т.е.

∞

n=0

Свойства степенных рядов

1.Сумма f степенного ряда является функцией, непрерывной на интервале сходимости (−R, R).

2.Сумма f степенного ряда является функцией, дифференцируемой на (−R, R), причем ее производную можно найти по формуле

∞

В этом случае говорят, что степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости.

Данное утверждение можно применять снова уже к степенному ряду (8.15). Это означает, что сумма степенного ряда является функцией, бесконечно дифференцируемой на (−R, R).

3. Для любого отрезка [a, b] (−R, R) справедлива формула

an=1 a

т.е. интеграл от суммы степенного ряда по любому отрезку [a, b] (−R, R) может быть вычислен почленным интегрированием ряда (8.14).

n=0 n=0

сти соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

Все вышесказанное справедливо для рядов вида (8.11) на интервале (x0 − R, x0 + R), где R — радиус сходимости ряда (8.11).

8.2.3. Разложение функций в степенные ряды

Если функция f является суммой ряда

∞

c0+c1(x−x0)+c2(x−x0)2+. . .+cn(x−x0)n+. . . = cn(x−x0)n, (8.17)

n=1

т.е.

f(x) = c0 + c1(x − x0) + c2(x − x0)2 + . . . + cn(x − x0)n + . . . , (8.18)

где x (x0 − R, x0 + R), то говорят, что функция f разлагается в степенной ряд по степеням (x − x0).

Разложение функции в степенные ряды является одной из важнейших задач, так как функцию можно приближенно заменить суммой нескольких первых членов ряда, т.е. многочленом.

Теорема 8.16. Если функция f(x) разлагается на интервале сходимости в сходящийся степенной ряд, то это разложение единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f(x) разлагается в степенной ряд, т.е. справедлива формула (8.18). Тогда по свойству степенных рядов этот ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно много раз на интервале сходимости (x0 − R, x0 + R):

f (x) = c1 + 2c2(x−x0) + 3c3(x−x0)2 + . . . + ncn(x−x0)n−1 + . . . , f (x) = 2c2 + 6c3(x − x0) + . . . + n(n − 1)cn(x − x0)n−2 + . . . ,

f (x) = 6c3 + 24c4(x−x0) + . . . + n(n−1)(n−2)cn(x−x0)n−3 + . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(n)(x) = n(n − 1) · · · 2cn + n(n − 1) · · · 3 · 2cn+1(x − x0) + . . . .

Полагая в этих равенствах и в формуле (8.18) x = x0, находим:

Из приведенных выше рассуждений следует, что разложение в ряд (8.19) единственно, т.е. если имеются два разложения по степеням x = x0 одной и той же функции f, то эти разложения имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях x = x0.

Определение 8.16. Ряд (8.19) называется рядом Тейлора функции f в окрестности точки x = x0, а числа

называются коэффициентами Тейлора.

Определение 8.17. Если x0 = 0, то ряд (8.19) называется рядом Маклорена и имеет вид

Для дальнейших рассуждений напомним, что частичная сумма

ряда (8.19)

n

Pn(x) = ck(x − x0)k

k=1

называется многочленом Тейлора, разность Rn(x) = f(x) − Pn(x)

называется остаточным членом ряда Тейлора.

Можно показать, что при любом x (x0 − R, x0 + R) существует число c (x0, x) или c (x, x0) такое, что

В этом случае говорят, что остаточный член записан в форме Лагранжа.

Если просто предположить, что функция f имеет в окрестности точки x = x0 производные любого порядка, т.е. бесконечно дифференцируема в окрестности точки x = x0, и формально составить для нее ряд Тейлора, то из этого не следует, что данный ряд сходится при x = x0. Если же полученный ряд сходится, то необязательно к функции f(x).

Теорема 8.17 (критерий сходимости ряда Тейлора). Для того чтобы ряд Тейлора, составленный для бесконечно дифференцируемой функции f(x), сходился на некотором интервале и имел своей суммой f(x), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю на указанном интервале.

На практике пользуются следующим утверждением.

Теорема 8.18 (достаточное условие сходимости ряда Тейлора). Если функция f является бесконечно дифференцируемой на интервале (x0 − R, x0 + R) и все ее производные ограничены одной и той же постоянной M на интервале (x0 − R, x0 + R), то ряд Тейлора (8.19) сходится к функции f на этом интервале.

лора к функции f(x).

8.2.4.Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

В п. 4.3.2 были приведены разложения основных элементарных функций. Рассмотрим вывод этих формул.

то, подставив найденные значения в формулу (8.20), получим требуемое разложение.

Докажем, что полученный ряд сходится и имеет своей суммой функцию ex. Сначала найдем область сходимости. Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся теоремой 8.14:

R = lim (n + 1)! = lim (n + 1) = ∞.

n→∞ n! n→∞

Значит, ряд сходится на всей числовой прямой. Кроме того, применив

Осталось найти значение функции и ее производных в нуле:

f(0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = −1,

заметить, что

и подставить найденные значения в формулу (8.20).

Теперь найдем область сходимости полученного степенного ряда. Так как

функции sin x на всей числовой прямой.

Аналогичным образом можно получить разложения и некоторых других элементарных функций.