- •Основные свойства нелинейных элементов в электрических цепях постоянного тока
- •Графические методы расчета нелинейных цепей постоянного тока
- •Расчет нелинейных магнитных цепей постоянного тока: прямая задача
- •Регулярные методы расчета
- •1. Прямая” задача для неразветвленной магнитной цепи
- •2. “Прямая” задача для разветвленной магнитной цепи
- •Графические методы расчета
- •Расчет нелинейных магнитных цепей постоянного тока: обратная задача
- •1. “Обратная” задача для неразветвленной магнитной цепи
- •2. “Обратная” задача для разветвленной магнитной цепи
- •8. Особенности поведения безинерционных элементов в электрических цепях при периодических процессах
- •Особенности поведения инерционных элементов в электрических цепях при периодических процессах
- •Метод эквивалентных синусоид
- •Метод кусочно-линейной аппроксимации
- •Потери в ферромагнитных сердечниках при периодическом изменении магнитного потока
- •Уравнение, векторная диаграмма и схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником
- •Феррорезонанс в цепи с последовательным соединением нелинейной индуктивности и емкости
- •Феррорезонанс в цепи с параллельным соединением нелинейной индуктивности и емкости
- •Устойчивость режимов работы нелинейной электрической цепи
- •Расчет цепей с полупроводниковыми приборами
- •Основные положения теории электромагнитного поля
- •Система уравнений электромагнитного поля в интегральной форме
- •Система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной форме
- •Граничные условия на поверхности раздела двух сред
- •Электростатическое поле и его свойства
- •Потенциал - энергетическая характеристика электрического поля.
- •Граничные условия в электростатическом поле
- •Метод зеркальных изображений
- •Потенциал, градиент потенциала. Уравнение Пуассона и Лапласа
- •Электрическое поле постоянного тока
- •Электростатическая аналогия
- •Магнитное поле постоянного тока. Векторный и скалярный магнитный потенциал
- •Переменное электромагнитное поле в диэлектрике
- •Плоская электромагнитная волна в диэлектрической однородной и изотропной среде
- •Вектор Пойнтинга. Энергия электромагнитного поля
- •Теорема Умова-Пойнтинга
- •Переменное электромагнитное поле в проводящей среде
- •Электрический и магнитный поверхностный эффект
- •Эффект близости
- •Электромагнитное экранирование
Метод эквивалентных синусоид
В цепи, содержащей безынерционные нелинейный элемент, токи содержат высшие гармоники, даже если приложенное к зажимам цепи напряжение синусоидальное. В тех случаях, когда вопрос о форме кривых тока нас не интересует, можно воспользоваться приближенным методом, основанным на замене действительных несинусоидальных кривых тока и напряжения синусоидальными.
Смысл такой замены заключается в возможности записи уравнения в комплексной форме, в построении векторной диаграммы, хотя комплексные сопротивления нелинейных элементов остаются зависящими от тока.
Возможны два подхода: один состоит в замене несинусоидальных кривых тока и напряжения первыми гармониками этих величин – соответствующий метод называется методом гармонической линеаризации. Данный метод применяется при расчете периодических процессов в нелинейных радиотехнических устройствах, например, в ламповых генераторах, при рассмотрении феррорезонансных явлений; второй состоит в замене несинусоидальных кривых тока и напряжения, так называемыми, эквивалентными синусоидами. Действующие значения этих синусоид считаются равными действующим значениям несинусоидальных величин:
; .
Угол сдвига между эквивалентными синусоидами тока и напряжения должен быть таким, чтобы потери в реальной цепи и в цепи с эквивалентными синусоидами были одинаковы.
Широкое применение метод эквивалентных синусоид находит при расчете индуктивных катушек с ферромагнитным сердечником и трансформаторов. В этих случаях одним из условий выбора эквивалентных синусоид тока и напряжения является сохранение потерь в ферромагнитном сердечнике.
Метод кусочно-линейной аппроксимации
Основой метода является замена характеристик нелинейных элементов отрезками прямых линий и формирование для каждого участка систем линейных дифференциальных уравнений, позволяющих использовать эффективные способы расчета линейных электрических цепей. При этом сопряжение частичных решений для отдельных участков выполняется с использованием законов коммутации.
Особенности применения метода рассмотрим на примере расчета тока при подключении нелинейной индуктивности к источнику постоянного напряжения (рис. 7.2, а).
Начальное i(0) = 0 и конечное ioo = V/гзначения тока определяют рабочий участок на характеристике индуктивности 'F(i) (рис. 7.2, б). Аппроксимируем характеристику ломаной линией, содержащей два участка.
Для каждого участка, характеризуемого индуктивностями L = = и L2 = (Уоо - ЧМ/Ооо - i), справедливо линейное дифференциальное уравнение
Решение для первого участка 0 < i < ц имеет вид i = Ахе~+ ioo, причем постоянная времени = L^/ги произвольная константа А{ = -ioo. Подстановка дает результат (рис. 7.2, в)
Рис. 7.2. Анализируемая цепь (а), характеристика индуктивности (б),
кривая тока (в)
Отсюда несложно вычислить момент перехода
На втором участке i<i<< i=""> г'оо решение i = А^е~^~1^^2 + г» с постоянной времени Т2 = L^/r должно удовлетворять условию коммутации i{t) = i, из которого следует А2 = i- 4>. Подстановка дает для второго участка результат</i<<>
Для обеспечения требуемой точности результата следует увеличивать количество участков аппроксимации, что сопряжено с существенным возрастанием трудоемкости расчета. В практически важных частных случаях для выявления особенностей процессов при расчете используют упрощенную аппроксимацию характеристик. Это особенно важно в цепях при периодических воздействиях. В качестве примера проанализируем работу выпрямителя на полупроводниковом диоде с емкостным фильтром (рис. 7.3, а).
Вольт-амперную характеристику диода заменим идеальной, при которой в прямом направлении (отрезок 1) он имеет нулевое значение напряжения и = 0, а в обратном (отрезок 2) — нулевое значение тока г = 0 (рис. 7.3, б).
При действии на входе синусоидального напряжения V(t) = = n„,sin at и открытом состоянии диода (i > 0) ток определяется соотношением
причем = V,„Vl+ (сот)2//?; 3 = arctgот; т = RC.
При закрытом состоянии диода (и < 0) имеем i = 0 и происходит разряд конденсатора, описываемый выражением
Рис. 73. Схема выпрямителя (а), характеристика диода (б), кривые напряжений и тока (в)
Для получения общего решения следует состыковать записанные соотношения, т.е. определить значение напряжения Uc(t) и моменты времени t{ и t2 переходов состояний (рис. 7.3, в). Запирание диода происходит при i = 0, т.е. условии со^ + 9 = 0, из которого получим t = -(l/co)arctgcox. В этот момент искомое напряжение Uc(t) = Vwsin(arctgcox). Отпирание диода произойдет, когда напряжение источника сравняется с выходным, т.е. момент t2 определяется из условия V^sinco^ = Uc(tДля этого трансцендентного уравнения невозможно записать аналитическое решение, но для конкретных значений параметров можно найти решение приближенно.
Подобный подход также используют для анализа процессов в цепи с синусоидальным источником V(t) = Vm sin cot и нелинейной катушкой индуктивности (рис. 7.4, а).
Характеристику индуктивности, т.е. зависимость потокосцеп- ления от тока i заменим участками, описываемыми соотношениями i = 0 и 4* = (рис. 7.4, 6).
Дифференциальное уравнение цепи представим в виде
11а участке характеристики, совпадающем с осью ординат (г = 0), все напряжение приложено к индуктивности, т.е. d'V/dt = Vm sin соt (рис. 7.4, в). Решение имеет вид Ф(?) = -(Vm/co)cos cot + А. По начальному состоянию Ч'(О) = -*?т вычисляем Л = (Vm/co) - у?т и по- лучаем следующее выражение:
На участках Ч* = имеем d'V/dt = 0 и все напряжение приложено к резистору. Момент t можно определить из условия = = -Ч'ет + (Ут/СО)(1 - COSCO^), которое приводит к соотношению
Рис. 7.4. Схема катушки (а), характеристика индуктивности (б), кривые напряжения и тока (в)
cos соt = 1 - 2(cox?m/Vm). Полученные выражения позволяют оценить влияние параметров схемы на перемагничивание сердечника.
Применение кусочно-линейной аппроксимации в ряде приложений дает возможность исследовать достаточно сложные явления, такие как возникновение автоколебаний.