9. Система уравнений электромагнитного поля в интегральной форме

Кроме дифференциальной формы, уравнения Максвелла могут быть записаны также в интегральной форме. Для этой цели воспользуемся прежде всего теоремой Стокса, согласно которой циркуляция вектора   по замкнутому пути равна поверхностному интегралу от составляющей ротора вектора   по направлению нормали к поверхности, опирающейся на контур (рис. 1-1):

Применение этой теоремы к уравнениям (1-5) приводит нас к следующим выражениям:

Здесь и далее индексом   отмечены нормальные составляющие соответствующих векторов. Первое уравнение (1-8) называется законом полного электрического тока. Согласно этому

уравнению электрические токи смещения   так же как и электрические токи проводимости   порождают магнитное поле, причем изменение электрического поля во времени вызывает изменение магнитного поля в пространстве. Второе уравнение (1-8) при   обычно называется за. коном электромагнитной индукции. По аналогии с первым уравнением (1-8) можно это уравнение называть законом полного магнитного тока. Согласно этому уравнению магнитные токи смещения   так же как и магнитные токи проводимости   порождают электрическое поле, а изменение магнитного поля во времени вызывает изменение электрического поля в пространстве.

Воспользуемся далее теоремой Гаусса—Остроградского, связывающей интеграл по поверхности с интегралом по объему:

где   — внешняя относительно рассматриваемой области нормаль к поверхности 

Применение этой теоремы к уравнениям (1-6) дает:

Первое уравнение (1-10) указывает на то, что истоками электрического поля являются электрические заряды. Второе уравнение (1-10) указывает на то, что истоками магнитного поля являются магнитные заряды.

9. Система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной форме

Макроскопическое электромагнитное поле в сплошных неподвижных средах описывается в дифференциальной форме следующими уравнениями Максвелла:

где Е и Н — мгновенные значения векторов напряженности электрического и магнитного поля;

D и В — мгновенные значения векторов электрической и магнитной индукции;   — мгновенные значения векторов объемной плотности электрического и магнитного тока.

Так как имеет место закон сохранения количества электричества и магнетизма (уравнение непрерывности): 

где   — объемная плотность электрического заряда и   — объемная плотность магнитного заряда, то из уравнений (1-1) из-за тождества   ( -любой вектор) вытекают еще два уравнения:

В уравнения (1-1), (1-2) и (1-3) совершенно формально введены, помимо электрических токов и зарядов, также магнитные токи и заряды. В действительности магнитных токов и магнитных зарядов в природе не существует, поэтому в написанных уравнениях нужно было бы положить   Однако введение этих величин в уравнения электродинамики оказывается удобным во многих случаях, например, при определении излучения щелевых антенн.

Два уравнения (1-1) связывают между собой шесть векторов. Поэтому эта система является неполной и к ней нужно добавить еще четыре уравнения.

Во многих задачах среда, в которой происходят электромагнитные процессы, предполагается изотропной, т. е. имеющей одинаковые свойства по всем направлениям в каждой точке пространства.

Для изотропной среды имеют место соотношения:

где   — абсолютная диэлектрическая проницаемость;

 — абсолютная магнитная проницаемость;

 — удельная электрическая проводимость;

 — удельная магнитная проводимость;

 — напряженность стороннего электрического поля;

 — напряженность стороннего магнитного поля.

Под сторонними полями понимают либо поля, создаваемые электродвижущими и магнитодвижущими силами неэлектромагнитного происхождения (химическими, диффузионными и др.), либо поля, создаваемые некоторой частью системы, принимаемой за источник и не рассматриваемой детально. При анализе реальных электродинамических систем выделение некоторой их области в качестве области источников оказывается, как правило, необходимым во избежание чрезмерного усложнения задачи. В процессе решения величины   считаются заданными и не зависящими от порождаемых ими полей. Наряду с напряженностями сторонних полей можно рассматривать сторонние токи: электрический   и магнитный   Вопрос о том, следует ли вводить первичные источники с помощью сторонних токов или напряженностей толя сторонних э. д. с. и м. д. с., решается при постановке конкретных задач. В дальнейшем мы будем пользоваться сторонними токами, имея в виду возможность перехода к сторонним э. д. с. и м. д. с.

В соотношениях (1-4) зависимость между электрической индукцией и напряженностью электрического поля и между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля приняты линейными. Однако существуют среды, в которых эти зависимости имеют другой вид. Так, в сегнетоэлектриках нарушается линейность соотношения   а в ферромагнитных веществах нарушается линейность соотношения   Параметры этих сред   оказываются, таким образом, зависящими от величин напряженностей поля Е и Н. В анизотропных средах проницаемости   становятся тензорными величинами, которые в общем случае могут быть записаны в следующем виде:

Среды, имеющие тензорную электрическую проницаемость, иногда называются гироэлектрическими, а среды стен-, зорной магнитной проницаемостью — гиромагнитными. Примером гироэлектрической среды может служить плазма в постоянном магнитном поле. Из гиромагнитных сред следует упомянуть ферриты, помещенные в постоянное (или медленно меняющееся) магнитное поле. Вещества, обладающие одновременно и гироэлектрическими, и гиромагнитными свойствами, пока в природе не обнаружены. Уравнения (1-1) совместно с уравнениями (1-4) представляют уже полную систему уравнений электромагнитного поля.

Подставив (1-4) в (1-1) и (1-3), будем иметь уравнения Максвелла в следующем виде:

В уравнениях (1-5) и (1-6) полагается, что величины   ом являются заданными функциями точки пространства и от времени не зависят. Для однородной среды   и ом являются постоянными.

Рис. 1-1. К теореме Стокса.

Уравнения Максвелла записаны здесь в системе единиц «СИ». В этой системе диэлектрическая проницаемость среды   измеряется в фарадах на метр и для вакуума   магнитная проницаемость среды   измеряется в генри на метр и для вакуума