9. Вектор Пойнтинга. Энергия электромагнитного поля

- волновое число;

j - начальная фаза колебаний в точке z = 0.

Электромагнитные волны переносят энергию. Суммарная плотность энергии электрического и магнитного (электромагнитного) поля

 

,  . (6)

 

В электромагнитных волнах происходят взаимные превращения электрического и магнитного поля. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры». Поэтому объемные плотности электрической и магнитной энергии равны друг другу: w_э = w_м.

Отсюда следует, что в электромагнитной волне модули напряженности магнитного поля  и напряженности электрического поля  в каждой точке пространства связаны соотношением 

 

. (7)

 . (8)

При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии. Если выделить площадку S (рис. 2), ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Δt через площадку протечет энергия W_эм,

 

 (9)

 

Плотностью потока или интенсивностью Iназывают электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади:

 (10)

 

Умножив плотность энергии электромагнитного поля  на скорость распространения волны в среде (3), получим вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова-Пойнтинга)

, (9)

 Вт/м² . (10)

Электромагнитные волны оказывают давление. Давление электро­магнит­ного излучения объясняется тем, что под действием электрического поля волны в веществе возникают слабые токи, то есть упорядоченное движение заряженных частиц. На эти токи действует сила Ампера со стороны магнитного поля волны, направленная в толщу вещества. Эта сила и создает результирующее давление. (давление солнечного излучения ~5 мкПа). П.Н. Лебедев (1899 г.) доказал существование светового давления, что подтверждает теорию Максвелла.

Существование давления электромагнитных волн позволяет сделать вывод о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс. Импульс электромагнитного поля

. (11)

9. Теорема Умова-Пойнтинга

9. Переменное электромагнитное поле в проводящей среде

Рассмотрим закон полного тока и закон электромагнитной индукции:

 ; 

Токи переноса не могут существовать внутри проводящей среды, а токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости. Тогда закон полного тока можно записать в виде:

 .

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в диэлектрике и падающую перпендикулярно на поверхность проводящей среды. Направим ось z по направлению вектора скорости волны, т.е. внутрь проводника перпендикулярно его поверхности и запишем проекции уравнений на оси декартовой системы координат:

 

Учитывая, что волна плоская (все величины, характеризующие ее, зависят только от координаты z), из записанной системы уравнений по аналогии с рассуждениями о плоской волне в диэлектрике, можем записать:

 

Направим ось y по вектору H. В этом случае H = H_y; H_x = 0 , поэтому E_y = 0, и уравнения упрощаются:

 

После дифференцирования первого уравнения по координате z и подстановке в него второго уравнения, получаем уравнение для вектора напряженности магнитного поля и по аналогии запишем такое же уравнение для вектора напряженности электрического поля:

 ;   ;     .

Последние уравнения отличаются от волновых уравнений, полученных для этих векторов при рассмотрении переменного электромагнитного поля в диэлектрике тем, что содержат не вторую, а первую производную от векторов по времени.

Решение уравнения для установившегося синусоидального режима.

При рассмотрении установившегося синусоидального режима напряженности электрического и магнитного поля можно записать в виде мгновенных значений и в комплексном виде:

 ; 

Так как в комплексном виде временная координата t исключается, а дифференцирование по времени заменяется умножением на jω , то переменные зависят только от одной пространственной координаты z, и уравнения могут быть записаны в полных производных:

 ;   ; 

Решим уравнение для напряженности магнитного поля:

 , где   ;

 – корни характеристического уравнения

Преобразуем выражение для корня характеристического уравнения:

 , где 

Тогда решение для напряженности магнитного поля можно представить в виде:

 .

При z, стремящемся к бесконечности, множитель e^kz и напряженность магнитного поля также стремятся к бесконечности, что невозможно из физических соображений, поэтому: A₂ = 0

Окончательное выражение для напряженности магнитного поля примет вид:

Постоянную A₁ определим из граничных условия на поверхности раздела проводника и диэлектрика (рис.12–1) при z = 0.

H _me H_m0

z

 

Рисунок 12–1

Так как волна распространяется по направлению, перпендикулярному к поверхности проводящей среды, то вектор напряженности магнитного поля в диэлектрике H_me расположен параллельно границе и равен вектору напряженности магнитного поля внутри проводящей среды вблизи ее поверхности H_m0 (ввиду равенства на границе касательных составляющих). Поэтому, зная параметры волны у поверхности проводящей среды в диэлектрике, определяем постоянную A₁ из граничного условия: при z = 0 

Окончательно можем записать:   .

Полученное в комплексном виде решение представим в виде мгновенного значения:

Запишем решение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля   :

 .

Отношение комплексных амплитуд электрической и магнитной напряженности определяет волновое комплексное сопротивление ( Z ) проводящей среды для синусоидальной электромагнитной волны:

 .

Это сопротивление имеет вещественную и мнимую часть, что свидетельствует о наличии тепловых потерь в проводнике и сдвиге по фазе (  = + /4), между волнами электрической и магнитной напряженности во временной области. Волновое сопротивление можно представить и в алгебраической форме:

 , причем   , а X - индуктивное сопротивление

Окончательное выражение для комплексной амплитуды напряженности запишем в показательной форме:

 .

Мгновенное значение напряженности электрического поля имеет вид:

 .

Плотность тока проводимости определяется из соотношения J_пр = E и равна:

 . (*)

Следует помнить, что в рассматриваемом случае плоской электромагнитной волны векторы напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны в пространстве. Построим кривые, изображающие качественное распределение напряженности электрического и магнитного поля вдоль оси z для некоторого момента времени (t = 0), принимая, что начальная фаза   (рис.12–2).

x

H _y

z

0

v

E_x

y

Рисунок 12–2

Волна напряженности магнитного поля отстает по фазе от волны напряженности электрического поля на 45 градусов. Амплитуды обеих волн по мере продвижения вдоль оси z вглубь проводника затухают со скоростью, определяемой множителем e^-kz.