Статика и кинематика / Кинематика
.pdfРавнопеременным вращением называется такое вращательное движение тела, при котором его угловое ускорение постоянно, т.е. =const 0.
|
|
|
|
d |
= |
d = dt , |
= t +C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
Из начального условия t=0 = 0: C1 = 0. Тогда |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= 0+ t |
|
|
|
|
= |
d |
= 0 |
+ t |
d = 0dt+ tdt |
= t + |
t2 |
+ C |
|||
dt |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из начального условия t=0 = 0: C2 = 0. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= + t + |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.15. Скорость и ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
φ= φ(t) |
s = M0M = R |
an
a
v
v = |
ds |
= R |
d |
|
v = R |
|
dt |
dt |
|||||
|
|
|
||||
Линейная скорость какой-либо точки вращающегося твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.
|
|
|
|
|
v = |
v |
= |
|
R |
a = ddtv = ddt R = R
an = v 2 = 2RR2 = 2 R
a = 
a2 +an2 = R
2 + 4
2.16. Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Введем вектор угловой скорости:
= k = k
v
r
Вектор угловой скорости тела направлен вдоль оси вращения так, чтобы наблюдатель,
r |
смотрящий |
с его |
конца, |
видел |
|
вращение |
тела |
против |
хода |
||
|
часовой стрелки.
Докажем, что: |
|
|
= r |
v |
|||
r |
Oz |
направлено по касательной |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
r |
O1M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
= |
|
|
|
|
|
r |
|
sin = |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор скорости любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведенный из произвольного центра, взятого на
оси вращения.
Формула Эйлера: |
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|||
v = r = |
0 |
0 |
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
vx= − y , |
vy= x , |
vz= 0. |
Леонард Эйлер принадлежит к числу гениев, чье творчество стало достоянием всего человечества. Открытия Эйлера в математике, механике, физике и технике прочно вошли в современную науку. Многие из них были сделаны в Петербургской Академии наук, где Леонард Эйлер проработал 31 год (в 1727-1741 гг. и 17661783 гг.).
Вектор углового ускорения , так же как и вектор угловой скорости ω, лежит на оси вращения:
= ddt = dtd ( k )= ddt k = k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
dr |
||
Ускорение точки: |
|
dv |
|
|
|
( r ) = |
|
||||||||||||||
a = dt |
= dt |
|
dt |
r + dt |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = r + v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем, что: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
r = a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
v |
= an . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
|
|
|
v |
||||
|
||||
|
|
r |
||
a |
|
= |
|
|
|
|
|
r |
|
sin( r ) = |
|
|
|
OM |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
r Oz
направлено по касательной
r O1M
a |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 OM |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
v |
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
Oz |
|
||
v |
направлено по MO1 |
||||
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
||