Статика и кинематика / Кинематика
.pdfЭтот же результат можно получить, выбрав начало координат в центре окружности.
x =10cos |
t, |
y =10sin |
t. |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
s = 2 t, |
v =v |
= |
ds |
= 2 . |
||||||
|
|
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = |
d 2 s |
= |
dv |
= 0, a = |
v2 |
= |
4 2 |
= 0, 4 2 . |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
dt |
2 |
|
dt |
n |
|
|
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Т.е. колечко движется равномерно, а его полное ускорение равно нормальному ускорению.
Определим теперь скорость и ускорение колечка М вдоль стержня ОА.
OM = 2R cos .
x = 20 cos 10 t
v |
|
= −2 sin |
|
t, |
a |
|
= −0, 2 2 cos |
|
t. |
x |
|
x |
|
||||||
|
10 |
|
|
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Перейдем теперь к решению задачи в случае, когда движение точки уже задано координатным способом.
Пример 2.2. Точка движется по закону:
x=3(t−2), y=2(t−2)2 .
Найти траекторию точки и определить тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент t=3 с.
y = 2 x2
9
t = 0. Получим x0= −6, y0=8
при t = 3 с. получим х = 3, у = 2.
vx=3, vy=4(t−2).
|
|
|
|
|
|
= 5 м . |
v = v2 |
+v2 |
= 9 +16(t −2)2 |
|
|||
|
x |
y |
|
|
t=3 |
с |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
ax= 0, |
ay= 4, |
a = 4. |
a |
|
= |
dv |
= |
|
|
|
|
16(t − 2) |
|
|
|
|
= |
16 |
= 3, 2 |
м |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
с |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
9 + |
16(t − |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 − |
256 |
|
|
= |
12 |
= 2, 4 |
м |
|
|
|
|||||||
a |
= a2 |
− a2 |
= |
|
|
|
2 |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
5 |
|
|
с |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v 2 |
|
|
|
25 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
10, 4 м. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Лекция 10
1.Поступательное движение твердого тела.
2.Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела.
3.Равномерное и равнопеременное вращательное движение твердого тела.
4.Скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
5.Векторные формулы для определения скоростей и ускорений точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
2.12. Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле во все время движения, остается параллельной своему первоначальному направлению.
|
|
|
|
|
v |
B |
rA |
= rA (t) |
|
|
|
|
||
|
|
|
aB |
|
AB
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
rB |
= rA + AB |
|||||
|
AB |
|
|
|
|||||
rB |
|
|
|
aA |
|
|
|
||
|
rA |
|
|
|
|
|
|
|
|
При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории, которые при параллельном переносе совпадают.
drB |
|
|
|
drA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
drA |
|
|
|
|
drB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d AB |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
+ |
|
=v |
A |
=v |
B |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
||||||||||
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d AB |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
v |
B =vA |
|
|
|
aB = aA |
|
|
|||||||||||||||||
При поступательном движении все точки твердого тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями для
любого момента времени.
2.13. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела
Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором две точки тела остаются неподвижными.
φ= φ(t)
Угловой скоростью тела называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ
тела во времени, т.е. |
|
d |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= dt |
|||
|
= |
|||
ср |
= |
|
= lim |
|
= |
d |
|
= |
|
t |
t |
dt |
|||||||
|
|
t→0 |
|
|
|||||
Угловая скорость тела равна первой производной по времени от угла поворота тела.
Угловым ускорением называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела во времени:
= lim = d = d 2 = =
t→0 t dt dt2
Угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скорости или
второй производной от угла поворота.
2.14. Равномерное и равнопеременное вращательное движение твердого тела
Вращение тела называют равномерным, если угловая скорость тела постоянна, т.е. ω=const.
d |
= |
d = dt , |
= t +C . |
|
dt |
||||
|
|
|
Из начального условия t=0 = 0: C = 0.
Законом равномерного вращательного движения твердого тела:
= 0+ t