Статика и кинематика / Кинематика
.pdf
vx |
= x |
dx |
vy |
= y |
dy |
vz |
= z |
dz |
|
dt |
dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
проекции скорости на неподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.
|
|
|
|
|
v = v 2 |
+v 2 |
+v 2 |
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
k |
|
|
|
||||
r |
v |
|
|
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
v = x |
|
+ y |
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
v |
x |
|
|
|
vy |
|
|
|
|
v |
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos(v,^i )= |
; cos(v,^ j )= |
; |
cos(v,^k )= |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|||||||
2.5. Скорость точки при естественном способе задания движения
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = s(t) |
||||||||
|
dr |
|
o |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
r (t) = r (s) = r s(t) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r + r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
dr ds |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = MM1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
ds dt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
= o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
o |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dr |
|
= lim |
r |
= 1 |
|
|
|
v = |
ds |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ds |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
s →0 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v = dsdt
проекция вектора скорости точки на направление касательной к траектории равна первой производной по времени от криволинейной координаты s по времени.
v=v o
v= v = dsdt
Движение точки по окружности
v = dd st
ds = R d .
v = ddt R
= ddt - угловая скорость радиуса
v= R
Направлена скорость по касательной к окружности, следовательно, перпендикулярно радиусу OM.
Лекция 9
1.Ускорение точки при векторном способе задания ее движения.
2.Определение ускорения точки при координатном способе задания движения.
3.Естественный координатный трехгранники естественные координатные оси.
4.Разложение ускорения по естественным осям координат. Касательное и нормальное ускорение и их анализ.
5.Некоторые частные случаи движения точки. Равномерное и равнопеременное прямолинейное и криволинейное движение точки.
6.Примеры решения задач кинематики точки.
2.6. Ускорение точки
при векторном способе задания ее движения
Ускорение – физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки во времени.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
v |
|
|
acp |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
+ v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
aср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
dv |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
v |
a = lim |
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
||||||
a
v1 =v + v
a = dv = d 2r dt dt2
a = dv = d 2r dt dt2
Ускорение точки в данный момент времени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.
2.7. Определение ускорения точки
при координатном способе задания движения
x = x(t), |
y = y(t), |
z = z(t) |
r = x(t)i + y(t) j +z(t)k
|
d 2 r |
|
d 2 x |
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
d 2 z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a = |
= |
|
i + |
|
j + |
k |
|||||||||||
dt |
2 |
dt |
2 |
|
dt |
2 |
|
dt |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a = xi + yj +zk
a = ax i + ay j + az k
a = x |
d 2 x |
a |
|
= y |
d 2 y |
a |
= z |
d 2 z |
|
|
|
y |
|
|
|||||
x |
dt |
2 |
|
|
dt2 |
z |
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости или вторым производным от соответствующих координат точки.
a = ax |
+ ay |
+ az |
a = x |
+ y |
+ z |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
a |
x |
|
|
|
ay |
|
|
|
|
a |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos(a,^i )= |
; cos(a,^ j )= |
; |
cos(a,^k )= |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
a |
|||||||