Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

ис. 33. Перехiд вiд однi¹¨ тра¹кторi¨ до iншо¨ вiдповiдно до розбиття

часового iнтервалу.

àêèì

чином

уду ймовiрностi через без

Ми означили

межн кратний iнте

. Ò

÷å èé iíòå ðàë íàçè àþòü êîí-

iíòå

рал записують щетра¹кторiак: é

що значення цього iíòå

ðàëà ознае залежить вiд способiв розбиття

тинуальним, або у кцiон ль

èì,ïëiíте ралом. Ми

äiâà¹ìîñü,

часового промiжку трал

Z

на елементарнi iнтервали. Цей

çà

K(b, a) =

e êòîðiÿD[x(t)].

~ S[x(t)]

звукийшляхУнаслiдокметодуорсиамиуливолiчний. .iнтеадитивностiЗiскрзаписзаноголiв¹ птункцi¨стðà¹остозрозудi¨скороченимiло,и,абочометозаписомуцейдупiдхiдiнтепопередралiвма¹-

íÒüî¨

S = S[b, a] = Zab L dt = Zac L dt + Zc b L dt,

можемо записати амплiтудуS[b, a] = S[b, c] + S[c, a]

K(b, a) таким чином:

K(b, a) =

lim

1

dx1

...

dxc−1

A Z

A

N

→

0

Z

A

ε

→∞

... Z

272

dx

dxc+1

dxN

1

i

×

Z

c

Z

A−

e ~ S[x(t)]

A

A

ðiâíяння:iсть для хвильово¨ óíêöi¨, можнаb. Викнаписатиористовуючиакеiнтепопереднюральне

хвильовоюЗа сво¨м змiстомункцi¹юамплiту. Фiкс ючида Kпочаткову(x , t ; x , tточку) ¹ íi÷èì iíøèì, ÿê

b

b

a

a

мемо цей вираз як хвильов ункцiю

a, розглядати-

яка залежить вiд змiннихψ(x t

) =òî÷öiK(x

, t

; x

a

, t

a

),

b

b

b

b

перехiдЯкперейтивiдψ(xb, tb) = Z

dxc K(xb, tb;

xc

, tc)ψ(xc, tc).

ìî

хвильово¨дорiвнянняункцi¨Шрединв моментера? З цi¹ючасу метою розгляне-

iншийДомови

åíò ÷àñó

t до ¨¨ значення

ìось щодоtпозначень+ ε при ε.→Нехай0.

tc = t, tb = t + ε, xb = x,

xc = y.

Z

нялиде ядро, вiдповiдноψ(x, t +äîε) =

dy K(x, t + ε; y, t)ψ(y, t),

розбиття часового iнтервалу, яке ми прий-

A

÷àñòèíêè,

2

2

~

ε

i îòæå,K(x, t + ε; y, t) =

1

exp

i

εL

x − y

,

x + y

, t +

ε

,

ε→0 Z A

~

ε

2

2

∞

−

y

ùî, tðóõ+ à¹òüñÿψ(y,â tïîëi).

ψНехай(x, t + далiε) = ункöiÿexpËà ðàíæàεL

dy

i

x

x + y

ε

−∞

U (x, t),

mx˙ 2

òîäi

L =

− U (x, t),

ε

2

2

2ε2

−

2

274 L

x − y

,

x + y

, t +

ε

=

m(x − y)2

U

x + y

, t +

ε

.

∞

∞

1

Z

2

dz = r

π

Z

2

π

e−αz

α

,

z2e−αz

dz =

2α r

α

,

−∞

−∞

очевидно, iнтеα =ðàëè−içíàõ+ δ,непарнимиδ > 0, степенями

Çâiäñè ïðè

z дорiвнюють нулевi.

δ → 0

одимо потрiбнi нам iнте рали ма¹мо:

∂ψ(x, t)

1

1 ∂2ψ(x, t) 2~ε i

ψ(x, t) + ε

=

√iπ

ψ(x, t) + 0 +

∂t

A r m

2 ∂x2

m 2

iîчастинажники прирiвнянняоднаковихдорiвнюваластепеняхправiй,

обхiдноДля прирiвнятитогощоблiва−ìí~

εU (x, t)ψ(x, t) .

íå-

ε:

1

r

2~εiπ

= 1

A

m

∂ψ(x, t)

~

∂2ψ(x, t)

Перше рiвнÿííÿ âèзнача¹ íàì ñòàëу величину

∂t

=

2m ∂x2

− ~ U (x, t)ψ(x, t).

муостаточнотут спос бiiксу¹морозбиттявизначечасовогоняа

плiтуди. ймовiрностейОтже,A притимприйнятосамимми

iíòå

iíòåðâàëó

систем,

K(b, a)

~

∂ψ(x, t)

~2 ∂

2

квантичнийнеовоюкартинкаметодущомеханiкоюапаратФейнманаперевагквантово¨якрiвнянняакимШрепiдхiдiнтепоняттяммехинШанiки,ераФейнманаедин.заÿêòðàiнтзбагачу.¹кторiяминеОтже,рали. минеПростозазлишевстановилихвильовоюшляхамице¨¨маще-,

276темоднаЦе'язокСпецiальних¹з ~

∂t

= −2m ∂x2

+ U (x, t) ψ(x, t).

iíøå,

i отриму¹мо

але й наше класичне мислення в намаганнi

квантовi за

Тут цiкаво пригадати концепцiю ене Декартзбагнутищодо побудови

êîíè.

Декартом, нам невiдо

теорi¨ сп стережуваних явищ.

Áîã

ìî, ÿêèì iç

запров д

¹

есь iзичне

айзенбер

Шредин ер тсуперечатьФейнмОскiльки,àí ¹ iлюстрацiями цi¹¨ декарт

-

ñò

потрiбноНьютон,для пояснення

íèõ

ÿâèù,

âií

áóâ

äíùî

явище,

йнезчисленнихтеорi¨,що

äîñâiäó, ìîæóòü áóòè

åîäí

значними. Мабуть, кар инкиспособiв

тово¨ механiки, ÿê

винайшли

÷íiñòü

òåîði¨ áåç áóäü-ÿêèõ ãiï

òåç,

рунтуючись

ëèøå

çà äîñëi

во¨ концепцi¨.

був протилеж

погляд

. оворячи,

íå

ÿê

бративiдомо,розгляду

ðè÷è

áiëüøå,

æ

ÿêèõ

дi. Викликом цим поглядамспостережува¹ дв як природа

латих, й узагалi

çíàîê

механiки крiм рiвнянь Ньюто а, ма¹мо рiвня ня

рпускулярно-хвильовий дуалiзм, зрештою, яксвiтдекiльк

карти-

ßê . . .

Ла ранжа,класично¨анонiчнi рiвняння амiльтона, рiв яння амiльтоíà

обiВ дступ.

адки квазiкласичного

.

äîì

Áîðà

Ìè çíà¹ìî, ùî êâàзiкласичне квантува

U0/ cos (x/a)

U = U0/ch (x/a)

Ÿ23

квазiкласичнихюгкйгпоказати,

дляосциляторапотенцiлу.ТочнийМорзе

ëü àò

En

держу¹мо,атома водяк-

−

p

|x|-

−

U = U1e−2x/a

U2e−x/a

и осцилятора x4

приклад для

(2n + 1)]2~ /8ma2. Äëÿ

iнших задач,

En

=

[U2

2ma2/~2U1

−

å ó™

òî÷íi, для яких iз квазiкласичних,тенцiалiвакогозбiгуви-

ðàçiâ

щедляттiвдинужецiкавийнема¹.клас зада

En можнавиразах

витдляягти

резульотрима¹моати.Зкрема,

îëè

2

2

En, обчислених для п

U =

−

2

2

i Приклад 1 до нього),

. Òàêå æ

âåë ÷èíó

,

(äèâ.

òàò

перенормування параметрiв, то

точнi резуль-

U0 çàìiíèòè íà U0

+~ /8ma

U1, Uточний2 ï òåíöiàëó U =

U1/ sin2

(x/a) + U2/ cos2(x/a), 0 ≤ x/a ≤ π/2 äà¹

резульматимат

p

1

p 2

≤

≤

2

2

En

= [

2

2

2

2

1 + 8ma

U1/~ +

1 + 8ma U2/~ + 2(2n + 1)]

~

/8ma

à

ïîëi

2

(сталуx/a) + U ctg(x/a), 0

x/a

π ïîòðiáíî ïåðå

рмовуватиU = U ëèøå/ sin

ìî

чний результат:

U1, але не змiнювати сталу U2

-

p

En = (

+ 2n + 1)2~2/8ma −

äî2

розкриття цi¹¨2

загадки2

суттю2 2 öèõ2.перенормуваньНеважкрозгледiти¹додаванключ277-

U

/(

~

+1) ~

/2ma

2

1 + 8ma U1/ +2n

p

åð

не брати(див.

Ÿ23)уваги.Якщопохiдно¨уWквазiкласичномуточнорозв'язуютьсрозрахункуметодомрiвнiвакто

Áîðà

W ′

W

U

якiвониалом¹порочася,

ченостейхвильтина¹i,алiякийпранульовихщеiйзв'язу¹айзенбердначастинiкзагадкаумова,звеликихпотенцоча.квантуван

à

невизумовопртим,вхузульвирдятьщое

îовоеннямКвазiкласичнийдержу¹моЗоммервжпринципуквазiкласичнеахточнiельдаованi

äæ

òê

âiä

ву, числовеункцiюзнач обтонняякихактичнозале

ñòàëiæèòü

граничних

ν

наведенiпринес

ðå

вищззовнi,å перенормуванняíàзближточно¨ теорi¨да¹,.парамякДляiдомо,трiв пт чнийтенцiалукванто

зультат,вихеважливiчиселν ïðè

близьких

n 1

-

íапрошуiхормуува¹моiвнiв.¹тьсяДлясталiдоособливоточнихмiркуванняцьоговипедля. Такенормовуазiвосновногощоäлясп¹морiвнiвсобстанупараметриванняз. ераходженняЗíàâi¨ ажливезденихквазiклпотеточнихцiдлязагсичлуадокнижàáî

ñновного стану на т

величини, якi принесуть точджуютьсенер iю

квазiточно

ν

ðî¨íèìè

E0

званихякийстя -

óçãîЗапропонованаiключаприкладах,врiацiйночисель

йденими

ðàлрезультатiв,åнямтних.д,

здимо

åí

ê

точнищопроцедурагорунту¹тьсяметоквантово¨держанiи результатами.дамиЧитперенормуваньрозв'язуванихнаакиммехпринципiчрозв'язкулегк,спiкидлясобомперекона¹тьсдовiдповiдностiсврiвняння¹всiхвгадуваннядеякимделей¹ювиразирiвнiвчергоючи,ШрузагальндужееíБнапритåîзнахдинрачнихкондобi¨,.

êiëüê

i

ˆ

де оператор(δr ) = ([δϕ r] ) = (δϕ[r ]) = ~ (δϕ[rpˆ]) =

~

(δϕ L),

де оператор

ˆ

ψ(r + δr) = Rδϕψ(r),

будемо називати опе

ˆ

i

ˆ

~

îðîì ïîâîð(îòóδϕ Líà) êóò

Rδϕ = e

прямком

δϕ навколо осi з на-

ðàòненнийповтореннякут повороту

елементарний

кут да¹ поворотn. Багатокнаскiнч

ϕ:

ˆ

i

ˆ

280

~

ϕ(nL)

.

Rϕ = e

Твердження про те, що вл стивостi

системи не зале

жать вiд поворотiв, оз

ча¹, що з хвильового рiвняння Шредин-

оператордля

ього оператором

ψ(r)

äi¹þ íàсамимí

замкнено¨ˆ

äëÿ

Rδϕ отриму¹мо рiвняння

ψ(r + δr)

ç òèì

гамiльтонiан

ˆ

H. А це означа¹, що

ˆ комуту¹ з оператором повороту ˆ

H

Rδϕ. Справдi, ма¹мо

∂ψ(r)

ˆ

а пiсля дi¨ оператора повоi~ ðîòó

= Hψ(r),

∂t

ˆ

i~

∂Rδϕψ(r)

ˆ

ˆ

àáî

= RδϕHψ(r),

ˆ

∂Rδϕψ(r)

Çâiäñè

зновуi~

отриму¹мо,ˆùîˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

∂t

=

RδϕH − HRδϕ