33_Rezhimy_post_i_sin_toka_v_LETs_2014

если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она берется со знаком «плюс», если не совпадает – со знаком «минус». Падение напряжения на элементе берется со знаком «плюс», если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода, если не совпадает – со знаком «минус».

Например, для контура, показанного на рис. 2.5, можно записать:

Физическое содержание соотношения (2.6) состоит в следующем. Как известно, электрический ток в металлах связан с направленным движением электронов. В электротехнике направление тока выбрано противоположным, т. е. представляется как направление перемещения положительных зарядов. Положительные заряды перемещаются от точек с большими потенциалами к точкам, имеющим более низкий потенциал. Именно такая ситуация отражена на схеме рис. 2.5 знаками «плюс» и «минус».

Рис. 2.5. Контур электрической схемы

В сопротивлениях r1 и r2 обход совершается от плюса к минусу, т. е. потенциал в направлении обхода снижается и имеют место падения напряжения r1I1 и r2I2, входящие в левую часть уравнения со знаком «плюс». Сопротивления r3 и r4, наоборот, повышают потенциал в направлении обхода контура, поэтому в уравнение (2.6) произведения r3I3 и r4I4 включены со знаком «минус».

20

2.1.1.Последовательность определения токов ветвей по законам Кирхгофа

1)Произвольно выбираются направления токов ветвей. Число токов равно числу ветвей схемы. Токи ветвей с источниками тока известны.

2)Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа. Их число на единицу меньше числа узлов схемы.

3)Выбираются независимые контуры так, чтобы каждый источник тока входил только в один контур, и направления их обхода.

4)Записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих в себя источники тока, не составляются.

5)В результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.

2.2.Метод контурных токов

Вэтом методе за неизвестные принимают токи независимых контуров (контурные токи), а токи ветвей выражают через контурные.

Рассмотрим вывод правил формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 2.6, в которой известны ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рис. 2.6. Схема электрической цепи с контурными токами

Сначала выбираются независимые контуры и направления их обхода. Допустим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, совпадающий с направлением обхода, – I11, I22, I33. Выберем направления токов ветвей и соста-

21

вим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров (для контура с источником тока уравнение не составляется, так как I33 = J):

Выразим токи ветвей через контурные: I1 = I11; I2 = I11 – I22; I3 = I6 = – I22; I4 = I22 + I33; I5 = I33 = J – и подставим их в систему уравнений (2.7):

После группировки получим:

В конечном итоге получим систему уравнений в общем виде:

где r11, r22 – собственные сопротивления контуров 1 и 2, каждое из которых равно сумме сопротивлений, входящих в данный контур;

r12 = r21, r13, r23 – общие, или взаимные, сопротивления контуров. Общее сопротивление равно сопротивлению ветвей, общих для рассматриваемых контуров. Общие сопротивления берутся со знаком «плюс», если контурные токи в них направлены одинаково, и со знаком «минус», если контурные токи направлены встречно. Если контуры не имеют общей ветви, то их общее сопротивление равно нулю. В рассматриваемом примере r13 = 0;

Е11, Е22 – контурные ЭДС, каждая из которых равна алгебраической сумме ЭДС данного контура. ЭДС берется со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, если не совпадает – со знаком «минус».

Структура уравнений (2.10), использующая понятия собственных и взаимных сопротивлений контуров, а также контурных ЭДС, является общей для метода контурных токов. В зависимости от сложности исследуемой цепи изменяется лишь количество уравнений.

22

2.2.1. Последовательность определения токов ветвей методом контурных токов

1)Выбираются независимые контуры и направления контурных токов.

2)Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений равно числу независимых контуров схемы минус число контуров, содержащих источники тока. Количество слагаемых в левой части уравнения равно числу независимых контуров.

3)Определяются коэффициенты при неизвестных – собственные и общие сопротивления контуров, а также контурные ЭДС. Если общей ветвью контуров является источник ЭДС без сопротивления, то общее сопротивление этих контуров равно нулю.

4)Рассчитываются контурные токи.

5)Выбираются направления токов ветвей.

6)Определяются токи ветвей.

2.3.Метод узловых потенциалов

Вэтом методе за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы. Рассмотрим вывод правил формирования уравнений на примере схемы,

приведенной на рис. 2.7, в которой известны ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рис. 2.7. Электрическая схема для метода узловых потенциалов

23

В этой схеме два неизвестных потенциала – φ1 и φ2, поскольку φa = φb, φc = φd, φe = φf, а потенциал одного из узлов, в данном случае φ3, принимается равным нулю, что на схеме обозначают заземлением узла ( ).

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа, предварительно выбрав направления токов в ветвях:

24

где g11, g22 – собственные (узловые) проводимости узлов 1 и 2, каждая из ко-

торых равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле (проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю);

g12 = g21 – общая проводимость – взятая со знаком «минус» сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2;

J11, J22 – задающие (узловые) токи узлов 1 и 2, каждый из которых равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости ветвей, в которых они находятся (рассматриваются ветви, подключенные к данному узлу), и алгебраической сумме токов источника тока, подключенных к данному узлу. Знаки слагаемых: «плюс» – если направление ЭДС (источника тока) к узлу, «минус» – если направление ЭДС (источника тока) от узла.

2.3.1. Последовательность определения токов ветвей методом узловых потенциалов

1) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений системы на единицу меньше числа узлов схемы. Если в схеме содержится ветвь с источником ЭДС без сопротивлений (рис. 2.8), то 2 1 E. Приняв 1 0, получим 2 E. В этом случае уравнение для известного потенциала не составляется и общее количество уравнений сокращается на единицу при неизменном количестве слагаемых в левой части системы уравнений.

25

4)Выбираются направления токов ветвей.

5)Определяются токи ветвей.

При выборе способа расчета той или иной цепи лучшим, как правило, считается тот, который требует решения меньшего количества уравнений.

Метод узловых потенциалов с этой точки зрения обладает преимуществами в тех случаях, когда число узлов схемы меньше количества контуров. В качестве примера, подтверждающего это положение, приведена схема на рис. 2.9.

Данная схема имеет четыре независимых контура и два узла. Применяя непосредственно законы Кирхгофа, пришлось бы решать систему из пяти уравнений. Метод контурных токов требует решения четырех уравнений. По методу узловых потенциалов достаточно решить только одно уравнение для определения потенциала верхнего узла φ:

0

Рис. 2.9. Схема электрической цепи с двумя узлами

Поскольку потенциал нижнего (базисного) узла равен нулю, то потенциал φ численно равен напряжению на каждой из параллельных ветвей, поэтому нахождение значений токов ветвей – простая задача.

26

2.4. Принцип компенсации

В соответствии с теоремой компенсации участок цепи с сопротивлением r и током I можно заменить ЭДС, равной rI и направленной встречно току.

Действительно, например, для схемы на рис. 2.10, а уравнение по второму закону Кирхгофа запишется в виде:

Переместив слагаемое rI в правую часть уравнения (2.18) и введя замену E = rI, получим уравнение

которому соответствует схема на рис. 2.10, б.

а б Рис. 2.10. Пример использования принципа компенсации

Принцип компенсации можно использовать и в обратном направлении: ЭДС, возникающую в цепи, можно заменить падением напряжения, равным ей по модулю и направленным в противоположную сторону. В такой формулировке принцип компенсации используется, например, при расчете цепей переменного тока для работы с ЭДС самоиндукции.

2.5. Метод активного двухполюсника (эквивалентного источника или генератора)

При расчете линейных электрических цепей возможна замена части цепи, содержащей источники ЭДС и тока, относительно зажимов выделенной ветви ab (рис. 2.11, а) активным двухполюсником, состоящим из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления. В этом случае указанную ветвь можно рассматривать как нагрузку эквивалентного источника с ЭДС Еэ и сопротивлением rэ.

27

Эквивалентная ЭДС Еэ равна напряжению на зажимах аb при разомкнутой ветви rн, т. е. напряжению холостого хода Uх.х. Сопротивление rэ равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов аb при разомкнутой ветви rн. Источники напряжения и тока при этом исключаются из схемы (прил. 1).

Эквивалентные параметры Еэ и rэ могут быть определены опытным путем из режимов холостого хода (рис. 2.11, б) и короткого замыкания (рис. 2.11, в):

Рис. 2.11. Последовательность схем для метода эквивалентного источника

Обратимся к схеме на рис. 2.12, а и поставим задачу заменить ее простейшей эквивалентной схемой, представленной на рис. 2.12, б, при условии неизменности тока Iн в сопротивлении rн.

Эквивалентная ЭДС Еэ определяется по схеме, приведенной на рис. 2.13, а. Ток в сопротивлении r2 на схеме рис. 2.13, а отсутствует, поэтому

r1I1x.x . Ток в контуре r, E, r1

и напряжение холостого хода, а соответственно и эквивалентная ЭДС

28

Эквивалентное сопротивление rэ определяется по схеме на рис. 2.13, б. Зажимы а и b при этом считаются входными:

Рис. 2.12. Метод эквивалентного источника:

а – исходная расчетная схема; б – схема с эквивалентными параметрами

Метод эквивалентного источника не относится к числу основных методов анализа электрических цепей. Этот метод удобен в случае, когда интерес представляет только один из токов в цепи, или при физическом моделировании

29