33_Rezhimy_post_i_sin_toka_v_LETs_2014

Рис. 3.11. Электрическая цепь с последовательным соединением r, L, C

тивления;

90

arctg rx – аргумент комплексного сопротивления, представляющий со-

бой угол сдвига фаз между входным напряжением и током.

Установленные здесь закономерности имеют общий характер и сводятся к следующему:

индуктивное и емкостное сопротивления в состав общего реактивного сопротивления входят с разными знаками (индуктивное – с плюсом, емкостное – с минусом);

модуль комплексного сопротивления есть полное сопротивление; аргументом комплексного сопротивления всегда является угол сдви-

га фаз между соответствующими напряжением и током.

Результатом решения задачи является комплексное действующее значение тока (комплекс тока)

по которому записывается мгновенное значение тока.

Векторная диаграмма, представленная на рис. 3.11, б, построена в масштабах действующих значений тока и напряжения (модулей комплексов). Общей величиной для всех элементов является ток i, поэтому вектор тока I на данной диаграмме является исходным, или базовым.

Векторы падений напряжения ориентированы относительно вектора тока с учетом фазовых соотношений для элементов r, L и С: в сопротивлении r напряжение и ток совпадают по фазе; в индуктивности напряжение опережает ток на 90 º; в емкости напряжение отстает от тока на 90 º.

Построение топографической диаграммы обычно проводят, совершая обход схемы против направления тока, т. е. от точки b к точке a (см. рис. 3.11, б). Векторы падений напряжения на векторной диаграмме соответствуют расположению элементов на схеме. Потенциал точки b принимается равным нулю. При таком обходе потенциал исследуемой точки выше потенциала предыдущей и стрелка вектора, соединяющего точки на диаграмме, указывает направление возрастания потенциала. На рис. 3.11, б из точки b последовательно отложены векторы UC , U L и Ur . Геометрическая сумма этих векторов равна приложен-

ному напряжению U.

91

Векторные диаграммы такого типа называются топографическими векторными диаграммами. Главная их особенность – соответствие расположения векторов падений напряжений расположению элементов на схеме.

Векторная диаграмма (см. рис. 3.11, б) соответствует случаю, когда ин-

UC xC I , угол φ положителен, напряжение по фазе опережает ток и относительно входных зажимов схема воспринимается как активно-индуктивная. При выполнении условия xL xC вектор U L будет меньше вектора UC и схема относительно входных зажимов будет восприниматься как активно-емкостная, поскольку вектор напряжения U окажется отстающим по отношению к току I.

Рис. 3.12. Электрическая цепь с параллельным соединением r, L и С

Уравнение для мгновенных значений записывается по первому закону

где g 1 r.

92

Уравнение в комплексной форме имеет вид:

Векторная диаграмма токов показана на рис. 3.12, б. Этапы преобразования уравнения (3.74):

мости.

Любая комплексная проводимость выступает как величина, обратная комплексному сопротивлению. Для отдельных элементов

93

В общем случае

Формулы (3.77) бывают полезны в тех случаях, когда требуется преобразовать последовательные схемы в параллельные и наоборот. Предположим, что требуется схему на рис. 3.13, а преобразовать в схему, представленную на рис. 3.13, б.

Рис. 3.13. Преобразование схем с последовательным (а) и параллельным (б) соединением элементов

Комплексное сопротивление первой схемы записывается в такой форме:

Комплексная проводимость записывается как величина, обратная Z:

Умножая числитель и знаменатель дроби в формуле (3.79) на комплекс, сопряженный знаменателю, получаем:

В итоге значения проводимостей схемы на рис. 3.13, б таковы:

94

Реализацию обратного перехода можно осуществить путем преобразования общей комплексной проводимости схемы на рис. 3.13, б в комплексное сопротивление согласно формулам:

3.6. Особенности применения комплексного метода для исследования разветвленных электрических цепей

Положительным свойством комплексного метода является то, что операции с комплексными напряжениями, токами, сопротивлениями и проводимостями осуществляются по тем же основным правилам, что и в случае цепей постоянного тока.

Законы Кирхгофа для цепей постоянного тока формируются алгебраическим суммированием составляющих – токов при формировании уравнений по первому закону Кирхгофа, а также ЭДС и падений напряжения при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа.

В случае цепей переменного тока алгебраическое суммирование в действительной области применимо только для мгновенных значений, как это сделано при составлении уравнений (3.23), (3.65), (3.72). Действующие и амплитуд-

95

ные значения напряжения или тока суммируются только геометрически, на что указывают все приведенные ранее векторные диаграммы.

В комплексной форме алгебраические операции можно производить практически со всеми встречающимися при расчете электрических цепей величинами: комплексными амплитудами, комплексными действующими значениями, комплексными сопротивлениями и проводимостями. Нужно лишь правильно применять правила действий с комплексными числами.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 3.14, а.

Рис. 3.14. Заданная (а) и упрощенная (б) расчетные схемы

Пусть заданы параметры элементов схемы, а также входное напряжение u Um sin t .

Ставится задача определить токи ветвей. Расчет проводится по комплексным действующим значениям.

Сначала необходимо определить входное комплексное сопротивление Zэ . Это можно сделать по исходной схеме рис. 3.14, а, но если это сложно, то можно перейти к упрощенной схеме, изображенной на рис. 3.14, б, введя следующие обозначения:

Получили в итоге последовательно-параллельное соединение трех комплексных сопротивлений, для которого

96

Реактивное сопротивление xэ может быть как положительным (индуктивным), так и отрицательным (емкостным). Это зависит от соотношения параметров рассматриваемой схемы.

Комплексное действующее значение входного тока

По комплексу тока I1 в случае необходимости записывается мгновенное значение тока:

Множитель 2 обозначает переход от действующего значения тока I1 к амплитудному значению I1m, поскольку в окончательном виде должно быть записано выражение:

К значениям токов ветвей можно прийти различными путями, но наиболее общий путь характеризуется следующими этапами.

Выражаем напряжение U12 :

Это напряжение приложено к обеим параллельным ветвям, поэтому

97

По полученным значениям комплексов токов записываются мгновенные значения токов:

Впроцессе вычислений приходится применять преобразование комплексных чисел, так как для операции сложения и вычитания необходима алгебраическая форма комплексных чисел, а умножение и деление более удобно осуществлять, используя показательную (экспоненциальную) форму.

3.7.Виды мощности в электротехнике

Вобласти электрических цепей синусоидального тока используется несколько видов мощности: мгновенная, активная, реактивная, полная и мощность в комплексной форме, или комплексная мощность.

3.7.1. Мгновенная мощность

представляет собой произведение мгновенных значений напряжения и тока:

Пусть u Um sin t , i Im sin t , т. е. ток отстает от напряжения на угол сдвига фаз φ. Подстановка этих значений в соотношение (3.92) дает следующее:

98

Как видно из формулы (3.95), мгновенная мощность является периодической функцией, изменяющейся с двойной частотой по отношению к частоте напряжения и тока.

Рассмотрим сначала функцию мгновенной мощности для сопротивления r

(рис. 3.15, а).

Периодическая функция мгновенной мощности в этом случае не имеет отрицательных значений, ее среднее значение согласно выражению (3.95) равно произведению действующих значений напряжения и тока UI, поскольку 0 .

Мгновенная мощность пульсирует с двойной частотой, но нигде не меняет знака, что указывает на однонаправленность потока электрической энергии от источника к сопротивлению. Возврат энергии источнику отсутствует, поэтому в качестве главного свойства отмечается необратимость процесса преобра-

Рис. 3.15. Мгновенная мощность:

а– сопротивление r; б – индуктивность L

Виндуктивности L угол сдвига фаз 2 , поэтому в уравнении (3.95) cos 0 и кривая мгновенной мощности симметрична относительно оси вре-

мени (рис. 3.15, б). Это значит, что в части периода энергия поступает от источника в индуктивность, в другой – возвращается источнику. На участках графика, отмеченных знаком «плюс», энергия магнитного поля индуктивности

99